2.4二阶张量的标准形

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1、张量分析及连续介质力学2.4二阶张量的标准形2.4.1实对称二阶张量的标准形例：已知一点的应力（应变）状态，求主应力（或主应变）。求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。2.4.1.1基本概念定义对于一个实对称二阶张量（gi是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基e1，e2，e3，在这组基中，N化为对角标准形其对应的矩阵是对角形的，即称N1，N2，N3为张量N的主分量，正交标准化基e1，e2，e3的方向为张量N的主轴方向（或主方向），对应的笛卡儿坐标系称为张量N的主坐标

2、系。2.4.1.2对称二阶张量的特征方程设a，l分别为N的主方向和主分量，则或即N的特征方程N的特征多项式特征方程的解：特征根齐次方程组的非零解矢量：特征矢量2.4.1.3实对称二阶张量的特征根必为实根反证法（略）2.4.1.4实对称二阶张量主方向的正交性（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3唯一且互相正交。（3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N都化为对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的主分量为（2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2a3为主方向。在a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2为其中的二个主方向。2.4.1.5实

3、对称二阶张量所对应的线性变换a3a2a1N·a3=N3a3N·a2=N2a2N·a1=N1a12.4.1.6主分量是当坐标变换时N的混合分量对交元素之驻值条件极值问题引入拉格朗日乘子l,求无条件极值问题取极值得必要条件是d=0，即由的任意性得有非零解得条件是解得l的三个根，便可求出对应的及相应的坐标的方向，即取驻值的方向。由此可得2.4.2非对称二阶张量的标准形不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。设a，l分别为T的特征矢量和特征值，则即特征方程由于T的分量、从而其不变量是实数，故特征方程是一个实系数方程，它必定有一个实根，记作l3。设l3对应的特征矢量为g3，则任

4、选与g3线性无关的矢量g1，g2，与g3构成一组基矢量，则进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T化为某种形式的标准形（不一定是对角标准形）。2.4.2.1特征方程无重根的情况（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1，g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标系中，T可化为对角标准形g1g2g3T·g1=l1g1T·g2=l2g2T·g3=l3g3（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为一对共轭复根。设则仍有式中，与l1,l2对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T表示成

5、某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形），可令在构成的坐标系中，T可以化为实数形式的标准形g'1g'2g'3l1g'1T·g'1T·g'3=l3g'3mg'2lg'2-mg'1T·g'22.4.2.2特征方程有重根的情况由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它们都应是实根。此时，T一般可化为约当（Jordan）标准形，这由T的特征矩阵的初等因子决定。当矩阵的初等因子都是简单的（即一次的）式时，经过初等变换可以化为对交标准形；当矩阵的初等因子不全是简单的（即有高于一次的初等因子）时，化为几

6、个约当块按对角排列构成的标准形。无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向都不唯一。特征方程具有二重实根（12≠）（1）特征矩阵的初等因子全为简单的，即经过初等变换，可以化为此时T可化为对角标准形g1g2g3T·g1=l1g1T·g2=l1g2T·g3=l3g3（2）特征矩阵具有2次的初等因子-12以及-)：经过初等变换，可以化为式中Jn(i)称为对应于特征根i的n阶约当块。T可以化为约当标准形g1g2g3T·g1=l1g1l1g2T·g3=l3g3T·g2g1求特征矢量：设在为基矢量的坐标系内2.特征方程具有三重根（1

7、2）（1）具有3个全为1次的初等因子（－1）（2）具有初等因子(－1)2，(－1)（3）具有3次的初等因子(－1)3