第 2 章 二阶张量

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1、第2章二阶张量研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数，g也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的i不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。2.1二阶张量的元素ij•jiijijT=Tgg=Tgg=Tgg=Tgg同一坐标系ijij•iiiji′j′•j′i′i′j′ji′′=Tji′′gg=Ti′ggj′=T•i′gi′g=Tgi′gj′另一坐标系••jjiii′′′jij′(1)不同坐标系中实体不变，但其分量不同：TTTTTT≠,,,≠≠TT≠ijij′′ii′••jj′•jiij同一坐标系下不同的并矢下，其分量也不同：T≠T≠T≠T。iji•i(

2、2)定义转置张量：•jiijTTijTiTjTTg====()TTTTijgg()iggji()•ig()gigjijji•ijji====TTTTgggggggg协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换ji•ijjiijji•jiijij====TTTTgggggggg也可以分量不动，并矢交换ijij•iijiT(3)对称张量NN=ijjii•i•jj性质：N=N、N=N、N=N、N=N，ijji•jji•iij•j•i（而一般：N≠N、NN≠在相同的，混变分量的转置≠系数矩阵的转置）•j•iijN⋅u=u⋅NT(4)反对称张量ΩΩ=−ijjiii••jj性质

3、：ΩΩ=−、Ω=−Ω、Ω=−Ω、Ω=−Ω，ijji•jjii•ij•j•i（而一般：Ω≠−Ω、−=ΩΩ−在相同的•ji•ij(5)行列式的值：i•ji2ij定义：detT=T•j，Tij=gTi=T•jg=gT，g=Gijijij•jj`T=T、`T=T、`T=T、ijiji•i⎡⎤TTGTGg===••kkT•k⎣⎦ijikjikji1i(6)二阶张量的缩并（求迹）：trT=T，•i()iiTtrT+S=T+S，tr()T⋅S=T⋅⋅S，tr(TS⋅=)TS:•i•i(7)二阶张量与矢量的点积就是线性变换：iijTwTu=⋅，wTu=⋅，TuuT⋅≠⋅但Tu

4、uT⋅≠⋅j2.2正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集【设矢量集u()i线性相关，则存在不全为零的实数α()i使：III∑α()()iiu0=,0T=⋅∑∑αα()()iiu=()i()Tu⋅()i,所以Tu⋅()i也线性相关】i=1ii==11定理：[TuTvTw⋅⋅⋅=,,]detTuvw[,,][detT为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零]正则与退化detT≠0的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1)T为正则⇔u()i(i=1,2,3)性无关，则T

5、u⋅()i也线性无关。(2)正则T是单射的：uv≠⇒TuTv⋅≠⋅−1(3)正则T是满射的：∀u所作的线性变换Tuv⋅=，必存在唯一的逆变换Tvu⋅=−1−−11定义：正则二阶张量T，必存在唯一的正则二阶张量T使：TT⋅=⋅=TTG2.3二阶张量的不变量张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量---不变量。(1)T通过与自身T、G、进行缩并，得到的标量就是不变量ε:ijiGTGT:=⋅⋅=δTT=jiiijTT⋅⋅=TT=tr(TT⋅)jilmnijkεMMTTT⊗⊗ε=εεTTTijklmn(2)T的不变量由无限多个（

6、不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：主不变量（T特征多项式的三个系数）2123mmnmn•mη1123=++===TTT•••GT:TGTGTT•mmn=mnm=112211TT••12TTTT••23••131η2=++=223333⎣⎡()GTGTTT::()−⋅⋅⎦⎤TTTTTT2••12••23••13=−=11⎡⎤mnpqipjq⎣⎦TTTT••mn••qpδjqipTT••22[共有6项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标mn,和p,q可以互换但乘积不变，所以要乘1/2]111TTT•••123222111ijklmnijklmnηδ3

7、1==TTT•••23εMMTTT⊗⊗ε=lmnTTT•••ijk=εεlmnTTT•••ijk3!66333TTT•••123[共有6项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；lmn,,均顺序和均逆序的排列有6种，同样ijk,,也有六种，组合共有36种，除去重复的只有6种，所以要乘1/6]矩：∗η=G:T=trT1∗()ijη=T⋅⋅T=trT⋅T=TT2•j•i∗()ijkη=trT⋅T⋅T=TTT3•j•k•i两者之间的关系：∗∗2∗3η=η，η=(η)−2η，η=3η+(η)−3ηη1121233112(3)二阶张量的独立不变量有6

8、个，对称二阶张量有3个，反对称张量1个