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《第3章 张量函数及其导数分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3章张量函数及其导数研究的是空间中的一点张量与另一个空间中的另一点张量间关系，不涉及各个张量随空间点位（坐标）的变化，也不涉及同一个坐标中基矢量随空间点位的变化。3.1张量函数、各向同性函数的定义3.1.1张量函数张量,,HT取决于另一些张量T"T而变化，12n或者HT,,的分量是T"T分量的函数。如：12n2NHT==fc()G+cT+cT+"+cT012NiiimimmHccTcTTcTT1TN()T=+δ++""+01j••jm2•jN•m•m•j12举例12(1)矢量的标量函数：φ==fu()u+u12
2、ϕρ==f(vv)2ϕ==f(fv,)f⋅v(2)矢量的矢量函数：uf=()u=−kuuF==(v)−K⋅v1(3)张量的标量函数：ϕ==fT()T⋅1ik∗Tϕη==fT(TT)⋅⋅T=T=••kj2i123θ==f(ε)εε=+ε+ε••i12••3(4)张量的张量函数：σ==F()εC:ε,σε=Cijijklkl()gε2σ==FελµG+ε12HF==(T)TTTTnHF==(T)ag()(Ga++g)TT"+a(g)0ii1niσ==F(ε,EC,TT):ε+BE⋅+A3.1.2各向同性张量函数张量的
3、分量一般是随坐标转换而变化的，同一个函数在不同坐标系中可能有不同的形式。例如：1212ϕ==ff(u)(u,u)=u+u()RR()12′′1′2′ϕθ==ff()RR′′(u)()(u,u)=u()cos−sinθ+u(sinθ+cosθ)旋转定义：XX==ϕϕ为标量，则=ϕXX=uu为矢量，则==⋅Qu=u⋅QTXX=TT为矢量，则==⋅QT⋅QT各向同性函数:自变量旋转后，函数作相应的旋转，使其之间的对应关系不变，即函数f的表达形式不变。函数关系表达不依赖坐标系。χχ=⇒fX(,,""X)=f
4、(X,,X)11nn例如：i123θ==f()εε=ε+ε+ε••i12••3ik∗Tϕη==fT(TT)⋅⋅T=T=••kj2uv==fk()−vuF==(v)−K⋅v():()ε2σ==FεCεσ==FεληG+µε1nHF==(T)T3.2矢量的标量函数Cauchy基本定理：矢量vv,"",，的标量函数f(,vv,v)为各向同性的11mm2必要充分条件为f可表为内积vv⋅的函数。ij定理1：Cauchy基本定理特例：矢量vv的标量函数f()为各向同性的必要充分条件为ϕ=f()v。3.3二阶张量的标量函数
5、定量2：二阶张量TT的标量函数ϕ=f()为各向同性的必要且充分条件ij为ϕϕ是仅由T及度量张量的分量决定：=fT(,g)klij推论：ϕϕ==ff()T为各向同性的必要且充分条件为在正交标准化基中(T)定量3：对称张量NN的标量函数ϕ=f()为各向同性的必要且充分条件为NNNϕ==ff(N)(g,g,g)1233.4二阶张量的二阶张量函数3.4.1二阶张量的解析函数111T2n指数函数定义：e==ϕ()TG+T+T""+T1!2!n!TT2Tee⋅=eeeTT12⋅≠eT1+T2n解析函数定义：HT==ϕ()aa
6、G+T+"+aT，a均为常数。(各向同性的)01niTTTn推广：HT==ϕ()ag01()jjG+a()gT+"+an()gjT也各向同性张量函数性质：二阶Tg在某组基下能化为对角标准型，则H=ϕ()T在g下也能ii化为对角标准型3.4.2Hamilton−Cayley等式32TTT3∆()TT=−ggT+T−gG=0(2T可以由T的)次多项式表示1233.4.3同时化为对角标准型的函数HT=f()为同时化为对角标准形函数，且H的特征根µλ()为T的特征根ijλ的函数，则可以化为二次多项式：jNNN22HT==
7、fk()()gG+k()gkT+()gT=h(λλ)G+h()T+h(λ)T01jj2j0j1j2j()将张量函数最终化为张量的二次多项式1)对角标准形不一定正交；2)HT是的各向同性函数；3)对称，也对称；反对称，不一定反对称3.4.4对称张量的对称张量函数定理：对称张量NH的对称张量函数=⇔f()N为各向同性的NNN2HN==fk()()gG+k()gN+k()gN01jj2j例12：各向同性线弹性材料仅有个独立的弹性常数3.5张量场函数对矢径的导数、梯度ij"klTr()=T()rg()rg()r"g()r
8、g()rii"klij3.5.1有限微分、导数、微分方向导数（有限微分）的定义1Tr′′(;u)=+lim[]T(rhu)−T(r)=Tr()⋅uh→0hld(Tr)∂Tr((x))iTr′()==⊗gidr∂x有限微分：T’(r;u)定义在空间质点上的张量（每一个分量）沿给定方向变化率（分量个数同T(r)，故与T(r)同阶）导数：T’(r)定义在空间质点上的张量（每一个
