函数导数及其应用

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1、1.了解构成函数的要素；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.1.函数与映射的概念函　数映　射两集合A、B设A、B是两个非空设A、B是两个非空对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应数集集合任意任意唯一确定都有唯一确定函　数映　射名　称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记　法y＝

2、f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射f：A→Bf：A→B[思考探究1]映射与函数有什么区别？提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.2.函数的相关概念(1)函数的三要素是、和.(2)相等函数如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等.定义域值域对应关系定义域对应关系[思考探究2]如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有：、、.解析法列表

3、法图象法1.若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是()A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同D.B中的元素在A中可能没有对应元素解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.答案：B2.如图所示，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是()解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D符合函数定义.故选D.答案：D3.下列各组

4、函数是同一函数的是()A.y＝与y＝1B.y＝与y＝C.y＝与y＝2x－1D.y＝与y＝x解析：∵y＝排除A；y＝排除B；y＝排除C.答案：D4.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝.解析：∵f(x)＝x2＋bx＋c，f(1)＝0，f(3)＝0.∴1＋3＝－b,1×3＝c.即b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.∴f(－1)＝1＋4＋3＝8.答案：85.设函数f(x)＝，若f(x)＝10，则x＝.解析：当x＞0时，－2x＜0，故不合题意；当x≤0时，x2＋1＝10，∴x＝－3.答案：－3对于映射f：A→B的理解要抓住

5、以下三点：1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个系统；2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系是不同的；3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应.其要点在“任意”、“唯一”两词上.已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之相对应，则k的取值范围是()A.k＞1B.k≥1C.k＜1D.k≤1[思路点拨]A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解，利用判别式可以求k的范围.[课堂笔记]由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也

6、就是x2－2x＋k＝0无实数根.∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1.∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应.[答案]A若－15∈B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？解：∵－15∈B，∴－x2＋2x＝－15.即x2－2x－15＝0解之得x＝－3或x＝5.求函数解析式的常用方法1.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；2.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式即可；3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据

7、特殊值，确定相关的系数即可；4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).[特别警示]函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(x)的解析式.[思路点拨][课堂笔记](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋

8、17，不论x为何值都成立.∴解得∴f(