函数导数及其应用(26函数应用

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1、2011年高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第六节函数应用【高考目标定位】一、函数与方程1、考纲点击（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。2、热点提示（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。（2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。二、函数模型及其应用1、考纲点击（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数

2、增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。2、热点提示（1）考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力；几种增长型函数模型的应用可能会成为明年高考的又一生长点。（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题，偶尔也会在选择题、填空题中考查。【考纲知识梳理】一、函数与方程1、函数的零点（1）函数零点的定义对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。（2）几个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点注：①函数的零点不是函数与轴的交点，而是与

3、轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。②并非任意函数都有零点，只有有根的函数才有零点。（3）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是的根注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。2、二次函数的图象与零点的关系△＞０△＝０△＜０二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点无交点零点个数两个零点一个零点无零点3、二分法（1）二分法的

4、定义对于在区间[a,b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数零点近似值的步骤第一步，确定区间[a,b],验证，给定精确度；第二步，求区间（a,b）的中点；第三步，计算：①若=0，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）；第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复第二、三、四步。二、函数模型及其应用1、几类函数模型及其增长差异（1）几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模

5、型指数函数模型对数函数模型幂函数模型（2）三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数与幂函数在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长快于的增长，因而总存在一个，当时，有>。②对数函数与幂函数（）对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数，使时有。由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在上，总会存在一个，使时有2、解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建

6、模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。以上过程用图表示如下：【热点、难点精析】（一）函数与方程1、零点的判定○相关链接○（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。（2）用定理：零点存在性定理。注：如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。（3）利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数，图象，其交点的横坐标是的零点。○例题解析○〖例〗判断下列函

7、数在给定区间是否存在零点。分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。解答：（1）方法一：故存在零点。方法二：令得故存在零点。（2）方法一：故存在零点方法二：设在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此存在零点。2、函数零点个数的判定○相关链接○函数零点个数的判定有下列几种方法：（1）直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)

8、<0。还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点。（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。○例题解析○判断函数在区间