几种特殊的二阶张量

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1、张量分析及连续介质力学2.5几种特殊的二阶张量2.5.1零二阶张量O2.5.2度量张量G2.5.3二阶张量的幂2.5.3.1二阶张量的正整数次幂n个T2.5.3.2二阶张量的零次幂2.5.3.3二阶张量的负正整数次幂n个T-12.5.4正张量、非负张量及其方根、对数定义正张量N>O满足u·N·u=N:uu>0对于任意u≠0非负张量N≥O满足u·N·u=N:uu≥0对于任意u≠0正张量、非负张量都是对称二阶张量。对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形N为正张量的必要且充分条件是Ni>0N为非负张量的必要且充分条件是Ni≥0对于非负张量N≥O，存在唯一的非负张量M

2、≥O，使定义M为N的方根，记作可证：M与N具有相同的主方向。且其主分量为若N≥O，p为非负整数，则存在唯一的S=N1/p≥O正张量N>O的对数lnN:可证：利用任意一个非对称二阶张量T可构造两个非负张量如果T是正则的，则X，Y是正张量：>>一般来说，X，Y是两个不同的张量。可证：它们具有相同的主分量，只是主轴方向不同而已。2.5.5二阶张量的值满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式，可作为二阶张量空间的一种范数。2.5.6反对称二阶张量2.5.6.1定义满足T的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿坐标系中2.5.6.2反对称二阶张量的主不变量2.5.6.2反

3、对称二阶张量的标准形的特征方程特征方程的根的轴或零向e3满足设与l，对应的特征矢量（复数基）为g1，g2在g1，g2，e3中，可化为对角型标准形在垂直于e3的平面内，任选e1e2。在e1，e2，e3内，可化为实数形式的标准形：2.5.6.4反对称二阶张量的反偶矢量定义矢量与之间满足则称为反对称二阶张量的反偶矢量。而称－与互为反偶。易证：（包含了的全部信息）2.5.6.5反对称二阶张量所对应的线性变换对于空间任一矢量uu1e1+u2e2+u3e3，e1e2e3·uu×uu+·u当1时，代表了小转动，是小转动矢量。2.5.7

4、正交张量2.5.7.1定义一个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该正则二阶张量为正交张量，用Q表示。即在一般的斜坐标系中，，正交张量的矩阵不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有2.5.7.2正交变换的“保内积”性质定理任意矢量u，v用同一个正交张量进行映射后，其内积不变，即逆定理若一个二阶张量对于任意两个矢量u，v进行线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量必定是正交张量Q。几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转（可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。2.5.7.3正交张量的并矢表达式如果采用正交标准化基ei，则2.5.7.4正交张量的标

5、准形R使gi只产生整体的刚性转动，右手系的gi仍变为右手系；－R使gi不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。设Q的特征方程的特征根分别为，其中必有一个模等于1的实根。于是可设所对应的特征方向上的单位矢量e3，称为正交张量的轴。一般可设复数形式的标准形实数形式的标准形在垂直于e3的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对应的特征矢量。在这组正交标准化基中正交张量对其特征矢量所做的线性变换为e1e2e1e2e3－R·uu