第2章 二阶张量

《第2章 二阶张量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第2章二阶张量研究定义在一个固定点上的二阶张量（其元素是实常数，也是常数）随gi坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。2.1二阶张量的矩阵ij•jiijijTg====TTTTggggggg同一坐标系中的4种分量ijij•iiijij′′•ji′′i′j′i′j′====TTTTgggggggg另一坐标系中的4种分量ij′′i′j′•i′i′i′j′其系数可列入矩阵：====⎡⎤⎡⎤ijii⎡⎤⎡⎤jττττTTTT;;;1234⎣⎦ij⎣⎦i⎣⎦ij⎣⎦iijj′′′iiijij′(1)不同坐标系中分量不同：TTTTTTTT

2、≠≠≠≠,,,ijij′′ii′iijj′ijiij同一坐标系不同并矢分量也不同：TTTT≠≠≠ijiii（）定义转置张量：2•jiijTTijTiTjTTg====()TTTTgg()gg()g()ggijiji•iijijji•ijji====TTTTggggggggji•ijjiijji•jiijij====TTTTgggggggg(并矢交换)ijij•iijiT(3)对称张量：NN=ijjiiiiijjNNNNNNNN====,,,ijjiiijjiiijji••（而一般：NNNN≠≠混变分量的转置≠系数矩阵的转置）••jiijNuuN⋅=⋅T(

3、4)反对称张量：：ΩΩ=−ijjii••ijjΩΩΩΩΩΩΩΩ=−、、、=−=−=−ijji••jjiiij••ji（而一般：ΩΩΩ≠−、≠−Ω）Ω⋅=−⋅uuΩ••jiij（）行列式的值：5ij•i2ij定义：detT====TTg，，TTggTgG=••jijijijijijiTTijTjTijTT====、()TTTT、()T、()Tijijii•iiiTdetTT=det(6)代数运算：◊缩并（求迹）trT=Tiiitr()TS+=+TiiStr()TSTS⋅=⋅⋅tr()TSTS⋅=T:••ii◊与矢量点积（对矢量进行线性变换）iijwTu=⋅

4、,wTu=⋅•jTTuuT⋅≠⋅但TuuT⋅≠⋅对称二阶张量NuuN⋅=⋅反对称二阶张量Ω⋅=−⋅uuΩ◊与二阶张量点积iikCAB=⋅,CAB=⋅iijkijABBA⋅≠⋅2.2正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集定理：[]TuTvTw⋅⋅⋅=,,det,Tuvw[,]正则与退化detT≠0的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。（）为正则1Tu⇔=()ii1,2,3()性无关，则T⋅u()i也线性无关。（）正则是单射的：2Tu≠⇒⋅≠⋅vTuTv（）正则是满射的：3Tu∀⋅所作的线性变换Tu=v

5、，必存在唯一的逆变换Tvu−1⋅=定义：正则二阶张量，必存在唯一的正则二阶张量TT−−11使：T⋅T=⋅=T−1TG2.3二阶张量的不变量张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量−−不变量2.3.1张量的标量不变量（1）TT通过与自身、、进行缩并，得到的标量就是不变量Gε:ijiGTGT:=⋅⋅=δTT=jiiiiijTT⋅⋅=TT=tr(TT⋅)iijilmnijkε##TTT⊗⊗ε=εεTTTijkiiilmn（2）T的不变量由无限多个（其组合仍是不变量），常用的两组:◊主不变量(T特征多项式的三个系数）:TTTT123TG

6、TGTTmmnmnm•η()=++=GT:====11•••23•mmnmnmTTTTTT1122111••12••23••13η()T=++=[]()GTGTTT:():−⋅⋅2TTTTTT2233332••12••23••1311mnpqipjq=−=⎡⎤⎣⎦TTTTδTT••mn••qpjqip••22[6共有项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标和可以互换但乘积不变，所以要乘1/2]TTT111•••123111TTTT222ijkTlTmTnijkTlTmTnηδ()==ε##TTT⊗⊗ε==εε31•••23lmn•i•j•klmn•i•

7、j•k3!66TTT333•••123[6共有项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；lmn,,均顺序和均逆序的排列有种，63ijk,,同样也有六种，组合共有6种，除去重复的只有种，所以要乘61/6][]Tabc⋅=⋅=⋅,,[]aTbc,,[abTc,,]=η1(),,T[abc][]TaTbc⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=,,[]aTbTc,,[]aTbTc,,η(T),[abc,]2[]TaTbTc⋅⋅⋅=,,η(T),[abc,]3◊矩∗()T==GT:trTη1∗()T=⋅⋅=TTtrTT⋅=TTijη()2••ji∗3ηη()T=+

8、−33()ηηη33112◊两者之间的关系∗∗23∗ηηηη==−=，()233