高二数学培优秘籍9--圆锥曲线

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1、高二数学培优秘籍8圆锥曲线题型一数形结合：确定直线和圆锥曲线的位置关系简单题型未总结。题型二弦的垂直平分线问题【例】过点门-1,0）作直线/与曲线N:y2=x交于力、〃两点,在丫轴上是否存在一点E（x°，O）,使得是等边三角形，若存在，求出兀；若不存在，请说明理由.解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0.设直线/:y=A（x+l）,A#0,A（xvyj,B（xvy2）.由”丁心+1）消y整理得心2+（w_l）x+f=o1）.[y=x由直线和抛物线交于两点，得A=（2^2-l）2-4A4=^2+l>0即Ovfv丄②.…4由韦达定理，得：旺+兀=-斗二，"严I•则线段M的中

2、点为（-）.线段的垂直平分线方程为卡-守）,令y=0,得X。=-占，则E（£j-*，O）.・・・为正三角形,・•・£（右弓0）到直线M的距离d为・・•AB=/齐-勺）'+（必-丁2）2=•••笃产応琲^解得"士兽满足2式,此时X。=亍【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解求L过某决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦

3、与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题分析1：已知抛物线尸d+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点昇、B,则

4、力3等于？解:设直线M的方程为y=x+b.由y=-x+3.5,进而可求出[y=x+bMB的中点M（-三，一三+b）,又由M（-三,一三+b）在直线2222x+y=0上可求出b=l,/.x2+x-2=0,由弦长公式可求出AB=Vl+lI>/l2-4x（-2）=3>/2.题型三动弦过定点的问题22£7【例】已知椭圆C:—y+*=1(g>0)的离心率为且在X轴上的顶点分别为4(-2,0),4(

5、2,0)(I)求椭圆的方程；(II)若直线l：x=t(t>2)与x轴交于点八点P为直线/上异于点丁的任一点，直线/M、P4分别与椭圆交于M、N点.试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.解:(I)由已知椭a2c=>/3»b=•从而椭圆的方程为—+y*=1.4(II)设Mg,X),Ngy2),直线4"的斜率为你则直线的方程为y=«(x+2).由罗;("?消y整理得f+4厂=4寸“时’即点M的坐(1+4*)x2+16心x+16好-4=0,・・・-2和若是方程的两个根.•••»需，贝叶2吨」』标为(2-8好4A-,同理，设直线4N的斜率为K一则得点N的坐标为#8&；—

6、2—4乩/儿“It小k、—k[2二心，・••令尸0,得(砲'耐)••儿W"2)，儿*-2)••乔厂-7•・•直线MN的方程为：X-X]x2-X)x=込沁，将点M、N的坐标代入.化简后得：x=p又•••/>2,0b>o）±_的三cr点，其中点力（2的,0）是椭圆的右顶点.直线过椭圆的中心且AC^C=0,

7、z?c

8、=2p?

9、,如图.（I）求点C的坐标及椭圆E的方程；（II）若椭圆E上存在两点P

10、、Q.使得直线PC与直线0「关于直线x=x/3对称，求直线P0的斜率.解：（1）・・•网=2阿且〃C过椭圆的中心O./.

11、OC

12、=

13、^C

14、vAC^BC=0・・・Z.ACO二彳又・・•A（2的,0）/.点C的坐标为“屁•••力（2的,0）是椭圆的右顶点，:.a=2>/3,则椭圆方程为：存卜I•将点心佝代入方程•得八4,.・.椭圆E的方程哗（

15、

16、）・・•直线PC与直线0C关于直线“75对称，・••设直线PC的斜率为紅则直线0C的斜率为-紅从而直线pc、的方程为：y_忑=即y=kx+土W由p=+>/3(1-*)2+3八12=0消儿整理得：(1+3/)/+6竝(1-灯x+9"-1

17、8&-3=0,vx=>/3是方程的一个根.•"严疗一农二逬二21+3"9疋-18—375(1+3")同理可得：xQ=9疋+1弘-3x/J(1+3")•・•yP一『q=kxp+yf^Q-町十kxQ-y/^Q+k)=k(xP+x(J-2尿-2k_9，-18A-39"+18R-3-36A~Q(1+3«2)"F一73(1+3A2)~75(1+3")=73(1+315•则直线P（?的斜率为定值£题型五共线向量问题【例1】如图所示，已知圆C:(x+l)2+/=8,定点/(1,0),M为圆上一动点，点P在上，点N在CM上，且满足而=2乔,