2020高考数学培优《圆锥曲线综合》(解析版)

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1、小圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，不妨设点，代入椭圆方程得，又因为，所以，，所以，，所以的方程为．（2）依题设，得直线的方程为，即，设，，，由切线的斜率存在，设其方程为，联立得，，由相切得，化简得，即，因为方

2、程只有一解，所以，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，12小又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为，即，令，得，所以直线恒过定点．2．面积问题例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，则，又，得，，，解得，，所以椭圆方程为．（2）设直线方程：，、，12小由，得，所以，由

3、（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，，而与，知，，由，得，所以，四边形面积的取值范围．3．参数的值与范围例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）抛物线的焦点，，则，抛物线方程为；点在抛物线上，．（2）依题意，，设，设、，12小联立方程，消去，得．所以①，且，又，则，即，代入①得，消去得，，则，，则，当，解得，故．4．弦长类问题例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点

4、，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为，12小双曲线的渐近线为：，由点到直线的距离公式有：，∴椭圆方程．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：，要与相交于两点，则应有：，设，，则有：，．又．又：，所以有：，，②将，代入，消去并整理得：，要有两交点，则．③由①②③有．设、．有，，．将代入有．12小，令，，令，．所以在内恒成立，故函数在内单调递增，故．5．存

5、在性问题例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，∵在椭圆上，∴，∴，，故椭圆的方程为．（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，设，，，，的中点为，12小由，消去，得，∴，且，故且，由，知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此为线段的中点，∴，得，又，可得，∴点不在椭圆上，

6、故不存在满足题意的直线．对点增分集训一、解答题1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由已知，，轨迹为双曲线的右支，，，，曲线标准方程．（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，12小当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，直线，当时，，，得，，，下面证明直线经过点，即证，即，即，由，，整理得，，即即证经过点，直线过定点．2．已知点在椭圆上，

7、设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为椭圆经过点，有，由等面积法，可得原点到直线的距离为，联立两方程解得，，所以椭圆的方程为．（2）设点，则，即．12小直线，令，得．从而有，同理，可得．所以四边形的面积为．所以四边形的面积为．3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，．（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为的直线与

8、圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围．【答案】（1）是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，；（2）．【解析】（1）由题意是线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，∴，，，12