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时间:2020-02-27
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1、培优点十八圆锥曲线综合一、弦长问题例1:过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦,求:(1)弦的中点到点的距离;(2)弦的长.【答案】(1);(2).【解析】(1)双曲线的右焦点,直线的方程为.联立,得.设,,则,.设弦的中点的坐标为,则,.所以.(2)由(1),知.二、定值问题例2:设抛物线的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求抛物线的方程;(2)已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,证明:为定值.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)由题意可得,抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义得,即.故抛物线的方程为.(2)易知焦点的坐标为,若直线的
2、斜率不存在,即直线方程为,此时令,,∴;若直线的斜率存在,设直线方程为,设,,由抛物线的定义知,.由,得,根据韦达定理得,所以,综上可得,为定值.三、最值问题例3:已知两定点,,为坐标原点,动点满足:直线,的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与(1)中曲线交于,两点,求的面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)设点的坐标为,则,,所以,化简得,所以所求轨迹方程是.(2)设直线的方程为,联立曲线的方程得,设,,由韦达定理得,,所以的面积,设,则,上式当即时取等号,所以的面积的最大值是.四、存在性问题例4:已知中心在坐标原点的椭圆经过点,且点为其右
3、焦点.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线与椭圆交于,两点,满足,且原点到直线的距离为?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)设椭圆的方程为,则左焦点为,在直角三角形中,可求,∴.又,∴.故椭圆的方程为.(2)假设存在符合题意的直线,其方程为,由原点到的距离为,得.联立方程,得.则.设,,则,,则,解得.当斜率不存在时,的方程为,易求得.综上,不存在符合条件的直线.对点增分集训一、选择题1.已知经过椭圆的右焦点且与轴正方向成的直线与椭圆交于,两点,则()A.B.C.D.或【答案】C【解析】由已知条件可知直线为,由,得,∴,,
4、∴.2.已知双曲线与直线交于,两点,过原点与线段中点所在直线的斜率为,则的值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设,,中点坐标,代入双曲线方程中,得到,,两式相减得到,结合,,,且,代入上面式子,得到.3.等边三角形的三个顶点都在抛物线上,为坐标原点,则这个三角形的边长为()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵抛物线关于轴对称,∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,则,点关于轴对称,∴直线倾斜角为,斜率为,∴直线方程为.由,得,∴,,∴,∴这个正三角形的边长为.4.若过椭圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【
5、解析】如图,因为椭圆与圆关于轴对称,并且圆的圆心坐标为椭圆右焦点,所以过椭圆上一点作圆的两条切线,要使的最大,则取最小,所以为右端点.因为,,,所以.5.已知双曲线,是双曲线上不同于顶点的动点,经过分别作曲线的两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成平行四边形,则四边形的面积是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设,则,设和渐近线平行,和渐近线平行,由,,且和渐近线的距离为,由和,求得,可得,∴四边形的面积是.6.是抛物线上一定点,,是上异于的两点,直线,的斜率,满足(为常数,),且直线的斜率存在,则直线过定点()A.B.C.D.【答案】C【解析】设,,则直线的方程为,整理得,又
6、,化简得,则.则直线的方程为,直线过定点.二、填空题7.已知抛物线:的焦点也是椭圆:的一个焦点,点,分别为曲线,上,则的最小值为.【答案】【解析】由点在椭圆上,且,所以,则焦点的坐标为.又由抛物线方程得,所以,则,由抛物线定义知等于点到其准线的距离.过点作准线的垂线,则垂直与抛物线的交点即为所求点,所以,其最小值为.8.若椭圆与双曲线在第一象限内有交点,且椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别是,,点是椭圆上任意一点,则面积的最大值是___________.【答案】【解析】依题意有,设,,由余弦定理得,解得.故对与椭圆来说,,,,,椭圆方程为.当为短轴上顶点时,面积取得最大值为
7、.三、解答题9.已知椭圆过点,离心率是.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于、两点,线段的中点为,求直线与坐标轴围成的三角形的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)依题意可知,,,解得,,∴椭圆的方程为.(2)设、,代入椭圆方程得,,两式相减得,由中点坐标公式得,.∴,可得直线的方程为.令,可得;令,可得,则直线与坐标轴围成的三角形面积为.10.已知抛物线的焦点为,为坐标原点,、是抛物线上异于的两点.(1)求抛物线的方程;(2)若直线、的斜率之积为,求证:直线过定点.【答案】
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