2020届高考数学专题十八离心率精准培优专练理.docx

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1、培优点十八离心率一、椭圆的离心率例1：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．故选C．二、双曲线的离心率例2：已知双曲线，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得双曲线标准方程为，，，，故本题正确选项C．对点增分集训一、选择题1．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）A．6B．C．4D．2【答案】C【解析】焦点在轴上的椭圆，可得，，椭圆的离心率为，可得，解得．故选C．2．已知双曲线，则的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】由双曲线

2、的方程得，，又根据，解得，，所以，故选C．3．已知椭圆的长轴长为6，短轴长为，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为椭圆的长轴长为6，短轴长为，所以，，解得，，所以，所以该椭圆的离心率为，故选A．4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）A．4B．5C．8D．10【答案】D【解析】由已知可得，又，，焦距，故选D．5．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；因为③，联立①②③可得，，故选C

3、．6．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵椭圆方程为，∴，由椭圆定义知的周长为．故选C．7．已知双曲线的渐线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线方程为，，，因此双曲线的渐近线方程为，即，，得，所以，所以双曲线的离心率，故选B．8．如图，点在以，为焦点的双曲线上，过点作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由题意得：四边形的边长为，连接，由对称性可知，，则

4、三角形为等边三角形．过点作轴于点，则，，∴在直角三角形中，，，则，连接，则．由双曲线的定义知，，所以双曲线的离心率为．故选C．9．椭圆：的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于，两点，若是直角三角形(为坐标原点)，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过作轴的垂线交椭圆于，两点，故，，由于三角形是直角三角形，故，即，也即，化简得，，解得，，故选C．10．经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜

5、角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率，∴，故选A．二、填空题11．椭圆的离心率为______．【答案】【解析】根据椭圆的方程可得：，，故，所以椭圆的离心率．12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________．【答案】【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，所以．故答案为．13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】∵垂直于，∴可得，又∵

6、为等腰三角形，∴，即，整理得，解得．14．已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是________．【答案】2【解析】由矩形，所以，，又由，所以，又，所以，解得或（舍去）．三、解答题15．设，分别是椭圆的左、右焦点，是在第一象限上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求，．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）根据及题设，知，由，得，即．将代入，解得，（舍去）．故的离心率为．（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的

7、交点是线段的中点，故，即．①由，得．设，由题意知，则，即，代入的方程，得．②将①及代入②，得，解得，，故，．16．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴可设双曲线方程为．∵过点，∴，即．∴双曲线方程为．（2）证明：，，，∵点在双曲线上，∴，即，．