2020届高考数学专题五导数的应用精准培优专练理.docx

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1、培优点五导数的应用一、求切线方程例1：曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】∵，∴结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为，∴切线方程为．二、求单调区间和极值例2：已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），①当时，，此时在单调递增；②当时，令，解得或；令，解得，此时在，单调递增，在单调递减；③当时，令，解得或；令，解得，此时在，单调递增，在单调递减，综上可得，当时，在单调递增．当时，在，单调递增，在单调递减．当时，在，单调递增，在单调递减．（2）由（1）中结论可知，当时，在单调递减，在单

2、调递增．此时，∵，，∴当时，，，令，则，∴在单调递减．又∵，，∴，即．当时，，∴，综上，当时，的取值范围是．三、导数与零点例3：已知函数，为的导函数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有个零点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）对进行求导可得，，，取，则，在内，为单调递减函数，且，，所以在内存在一个，使得，所以在内，，为增函数；在内，，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点．（2）由（1）可知，当时，单调增，且，可得，则在此区间单调减；当时，单调增，且，，则在此区间单调增；又，则在上有唯一零点．当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，，单调增；在

3、时，单调减，且，所以在上无零点；当时，单调减，单调减，则在上单调减，，所以在上存在一个零点．当时，恒成立，则在上无零点，综上可得，有且仅有个零点．对点增分集训一、选择题1．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D．2．函数的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，∴为奇函数，舍去A，，∴舍去D；，∴，，所以舍去C；因此选B．3．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为．

4、4．若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A，令，，则在上单调递增，故具有性质，故选A．5．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】令，则，，得．，可得．故选D．6．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或，时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，故选C．7．已知函数有唯一零

5、点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为．设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得．故选C．8．若是函数的极值点，则的极小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．二、填空题9．曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】，则，所以．10．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点

6、的坐标是．【答案】【解析】设点，则．又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，；当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为．11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】由，得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，，从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，．12．已知函数，则的最小值是_________．【答案】【解析】，所以当时，函数单调减，当时，函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是．三、解答题13．已知函

7、数．（1）讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点．（2）因为是函数的一个零点，所以有．曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线