2020届高考数学专题五导数的应用精准培优专练理.docx

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1、培优点五导数的应用一、求切线方程例1:曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】∵,∴结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为,∴切线方程为.二、求单调区间和极值例2:已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1),①当时,,此时在单调递增;②当时,令,解得或;令,解得,此时在,单调递增,在单调递减;③当时,令,解得或;令,解得,此时在,单调递增,在单调递减,综上可得,当时,在单调递增.当时,在,单调递增,在单调递减.当时,在,单调递增,在单调递减.(2)由(1)中结论可知,当时,在单调递减,在单

2、调递增.此时,∵,,∴当时,,,令,则,∴在单调递减.又∵,,∴,即.当时,,∴,综上,当时,的取值范围是.三、导数与零点例3:已知函数,为的导函数.证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)有且仅有个零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)对进行求导可得,,,取,则,在内,为单调递减函数,且,,所以在内存在一个,使得,所以在内,,为增函数;在内,,为减函数,所以在在区间存在唯一极大值点.(2)由(1)可知,当时,单调增,且,可得,则在此区间单调减;当时,单调增,且,,则在此区间单调增;又,则在上有唯一零点.当时,单调减,且,则存在唯一的,使得,在时,,单调增;在

3、时,单调减,且,所以在上无零点;当时,单调减,单调减,则在上单调减,,所以在上存在一个零点.当时,恒成立,则在上无零点,综上可得,有且仅有个零点.对点增分集训一、选择题1.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为函数是奇函数,所以,解得,所以,,所以,,所以曲线在点处的切线方程为,化简可得,故选D.2.函数的图像大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,∴为奇函数,舍去A,,∴舍去D;,∴,,所以舍去C;因此选B.3.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以曲线在点处的切线斜率为,故曲线在点处的切线方程为.

4、4.若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质,下列函数中具有性质的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】对于A,令,,则在上单调递增,故具有性质,故选A.5.已知曲线在点处的切线方程为,则()A.,B.,C.,D.,【答案】D【解析】令,则,,得.,可得.故选D.6.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时,,函数有两个零点和,不满足题意,舍去;当时,,令,得或,时,;时,;时,,且,此时在必有零点,故不满足题意,舍去;当时,时,;时,;时,,且,要使得存在唯一的零点,且,只需,即,则,故选C.7.已知函数有唯一零

5、点,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数的零点满足,设,则,当时,,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,当时,函数取得最小值,为.设,当时,函数取得最小值,为,若,函数与函数没有交点;若,当时,函数和有一个交点,即,解得.故选C.8.若是函数的极值点,则的极小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可得,因为,所以,,故,令,解得或,所以在,上单调递增,在上单调递减,所以的极小值为,故选A.二、填空题9.曲线在点处的切线的斜率为,则________.【答案】【解析】,则,所以.10.在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数),则点

6、的坐标是.【答案】【解析】设点,则.又,当时,,点A在曲线上的切线为,即,代入点,得,即,考查函数,当时,;当时,,且,当时,单调递增,注意到,故存在唯一的实数根,此时,故点的坐标为.11.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为_______.【答案】【解析】由,得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此,,从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以,,.12.已知函数,则的最小值是_________.【答案】【解析】,所以当时,函数单调减,当时,函数单调增,从而得到函数的减区间为,函数的增区间为,所以当时,函数取得最小值,此时,所以,故答案是.三、解答题13.已知函

7、数.(1)讨论函数的单调性,并证明函数有且只有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)函数的定义域为,又,所以函数在上单调递增,又,所以在区间存在一个零点,且,所以在区间上也存在一个零点,所以函数有且只有2个零点.(2)因为是函数的一个零点,所以有.曲线在处的切线方程为,曲线曲线当切线斜率为时,切点坐标为,切线方程为,化简为,所以曲线在处的切线也是曲线

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