2020届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理.docx

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1、培优点四恒成立问题一、最值分析法例1：设，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】【解析】恒成立不等式为，只需，令，则对称轴为．①当时，在单调递增，∴，∴，即；②当时，在单调递减，在单调递增，∴，∴，即．综上，．二、参变量分离法例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】∵，∴，即只需要即可，设，∴，令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）∴，∵，∴，∴在单调递增，∴，∴，∴在单调递增，∴当时，，∴．∴实数的取值范围是．三、数形结合法例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范

2、围是．【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，∴应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入，可得，综上可得：．对点增分集训一、选择题1．已知，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，∴，设，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴．2．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若恒成立，则，，∴在单调递减，在单调递增，，，∴，∴

3、．3．已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．4．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】恒成立不等式变形为，即的图象在图象的上方，先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．通过观察图象，可得只需，解得．5．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，∴，∴，其中．∴只需要，令，，令，，当时，，∴在单调递减，又，∴，即，∴在单调递减

4、，∴，∴．6．设正数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，∴，，可得在单调递增，在单调递减，故，∴若原不等式恒成立，只需，再进行一次参变分离，，则只需，，∴，∴，解得．二、填空题7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】∵，即恒成立，∴，若不等式恒成立，只需，令，∵，∴．8．若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，∴应为单减的对数函数，即，观察图象进一步可得，

5、要使不等式对于任意的都成立，只需时，，即，∴．9．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为．【答案】【解析】，即，作出函数和的图象，可知，，，∴，即的最大整数值为．10．已知，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】令，可得，，由可得，当时，，，，即，∴在上单调递增，∴，即，解得，结合，可得．三、解答题11．已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，∴函数在点处的切线方程为．（2）当时，由，可得，即只需要，

6、设，令，，∵，∴，在单调递增∴，∴，在单调递增，，．综上，实数的取值范围为．12．已知函数，，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．【解析】（1）当时，，，易得当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．（2）恒成立，只需，由，得，令，解得，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴，都有恒成立，即只需．，当时，令，则，与矛盾，当时，，∴解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，解得，综上所述：．13．已知函数，其中．（1

7、）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，可得恒成立，∴在单调递增；当时，令，可解得或，∴在，单调递增；在，单调递减．（2）若在上恒成立，则只需，由（1）可知在的边界处取得最大值，∴，即对任意的恒成立，∴，可得．综上，的取值范围为．14．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），①当时，恒成立，∴在上单调递增；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由

8、可得，设，，，∴恒成立，，∴，否则若，由于连续，∴必存在区间使得，即在单调递减，进而，使得，不符题意．∴．下面证任意的均满足条件．构造函数（时的）则，当时，，∴，∴，．若要恒成立，只需证明即可．又，，可得，令，，当时，，∴在单调递增，，即，∴在单调递增，成立，∴时，，恒成立，符合题意．综上，的取值范围为．