2020届高考数学专题十七离心率精准培优专练文.docx

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1、培优点十七离心率一、直接求出，或求出与的比值求解例1：已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为，所以，所以，所以离心率．二、构造，的齐次式求解例2：已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线，则与渐近线的交点为，因为是的中点，利用中点坐标公式，得，因为点在双曲线上，所以满足，整理得，解得．三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解例3：已知，为双曲线的左、右焦点，点在上，，

2、且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线定义及，得，，由余弦定理得，得．四、利用平面几何性质求解例4：设点为双曲线上一点，，分别是左右焦点，是的内心，若，，的面积，，满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设是的内切圆的半径，因为，∴，两边约去得，根据双曲线定义，得，，∴离心率为．对点增分集训一、选择题1．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率．2．已知椭圆的离心率为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，所以．3．已知

3、点到双曲线的渐近线的距离为，则的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵双曲线的渐近线为，∴点到的距离，∴，∴．4．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，，所以，．5．已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此，不妨设是第一象限的点，由轴可知的横坐标为，代入椭圆可得纵坐标为，即，设椭圆的左焦点设为，则根据抛物线定义可得，所以有，化简可得

4、，即，解得．6．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，解得，即．7．设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易得与相似，所以，即，所以，即，∴．8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，可得，即，又，所以，又，且，则可得，则，所以，所以，即．二、填空题9．椭圆的两个焦点分别为，，以为

5、一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为．【答案】【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，，由题设条件知，，，，∴，∴．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，，则的离心率为．【答案】【解析】由，，知是的中点，，又是，的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，．11．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【解析】设直线与轴的交点为，连接，∵的中垂线过点，∴，可得，又∵，且，∴，即，∴，，结合椭圆的

6、离心率，得，故离心率的取值范围是．三、解答题12．设椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，若直线与椭圆交于，两点，坐标原点为．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴圆，∵圆与相切，∴，∴，，∴．（2）设直线与椭圆的交点为，，∵，，∴直线，椭圆，联立直线与椭圆，消去得，∴，，，∴，∴，，∴．13．已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点．（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．【答案】（1）；（2），，【解析】（1）若为等边三角形，则的

7、坐标为，代入方程，可得，解得，所以．（2）由题意可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，因为，即，即，所以，所以．14．设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，已知（为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上．且，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得，解得．所以椭圆的离心率为．（2）由（1）知，，，故椭圆方程为，由题意，，则直线的方程为，点的坐标满足，消去并化简，得到，解得，．代入到的方程，解得，．因为点在轴上方，所以，

8、由圆在直线上，可设，因为，且由（1）知，故，解得．因为圆与轴相切，