2020届高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文.docx

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1、培优点十八圆锥曲线综合一、弦长问题例1：过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，求：（1）弦的中点到点的距离；（2）弦的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）双曲线的右焦点，直线的方程为．联立，得．设，，则，．设弦的中点的坐标为，则，．所以．（2）由（1），知．二、定值问题例2：设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求抛物线的方程；（2）已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即．故抛物线的方程为．（2）易知焦点的坐标为，若直线的

2、斜率不存在，即直线方程为，此时令，，∴；若直线的斜率存在，设直线方程为，设，，由抛物线的定义知，．由，得，根据韦达定理得，所以，综上可得，为定值．三、最值问题例3：已知两定点，，为坐标原点，动点满足：直线，的斜率之积为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与（1）中曲线交于，两点，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设点的坐标为，则，，所以，化简得，所以所求轨迹方程是．（2）设直线的方程为，联立曲线的方程得，设，，由韦达定理得，，所以的面积，设，则，上式当即时取等号，所以的面积的最大值是．四、存在性问题例4：已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右

3、焦点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线与椭圆交于，两点，满足，且原点到直线的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的方程为，则左焦点为，在直角三角形中，可求，∴．又，∴．故椭圆的方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由原点到的距离为，得．联立方程，得．则．设，，则，，则，解得．当斜率不存在时，的方程为，易求得．综上，不存在符合条件的直线．对点增分集训一、选择题1．已知经过椭圆的右焦点且与轴正方向成的直线与椭圆交于，两点，则（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】由已知条件可知直线为，由，得，∴，，

4、∴．2．已知双曲线与直线交于，两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，中点坐标，代入双曲线方程中，得到，，两式相减得到，结合，，，且，代入上面式子，得到．3．等边三角形的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，则这个三角形的边长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵抛物线关于轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则，点关于轴对称，∴直线倾斜角为，斜率为，∴直线方程为．由，得，∴，，∴，∴这个正三角形的边长为．4．若过椭圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【

5、解析】如图，因为椭圆与圆关于轴对称，并且圆的圆心坐标为椭圆右焦点，所以过椭圆上一点作圆的两条切线，要使的最大，则取最小，所以为右端点．因为，，，所以．5．已知双曲线，是双曲线上不同于顶点的动点，经过分别作曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形，则四边形的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，设和渐近线平行，和渐近线平行，由，，且和渐近线的距离为，由和，求得，可得，∴四边形的面积是．6．是抛物线上一定点，，是上异于的两点，直线，的斜率，满足(为常数，)，且直线的斜率存在，则直线过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则直线的方程为，整理得，又

6、，化简得，则．则直线的方程为，直线过定点．二、填空题7．已知抛物线：的焦点也是椭圆：的一个焦点，点，分别为曲线，上，则的最小值为．【答案】【解析】由点在椭圆上，且，所以，则焦点的坐标为．又由抛物线方程得，所以，则，由抛物线定义知等于点到其准线的距离．过点作准线的垂线，则垂直与抛物线的交点即为所求点，所以，其最小值为．8．若椭圆与双曲线在第一象限内有交点，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是，，点是椭圆上任意一点，则面积的最大值是___________．【答案】【解析】依题意有，设，，由余弦定理得，解得．故对与椭圆来说，，，，，椭圆方程为．当为短轴上顶点时，面积取得最大值为

7、．三、解答题9．已知椭圆过点，离心率是．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，求直线与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意可知，，，解得，，∴椭圆的方程为．（2）设、，代入椭圆方程得，，两式相减得，由中点坐标公式得，．∴，可得直线的方程为．令，可得；令，可得，则直线与坐标轴围成的三角形面积为．10．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过定点．【答案】