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时间:2019-04-18
《2019届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、培优点十九圆锥曲线综合1.直线过定点例1:已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于,两点,且.(1)求的方程;(2)若直线是圆上的点处的切线,点是直线上任一点,过点作椭圆的切线,,切点分别为,,设切线的斜率都存在.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1);(2)证明见解析,.【解析】(1)由已知,设椭圆的方程为,因为,不妨设点,代入椭圆方程得,又因为,所以,,所以,,所以的方程为.(2)依题设,得直线的方程为,即,设,,,由切线的斜率存在,设其方程为,联立得,,由相切得,化简得,即,因为方程只有一解,所以,所以切线的方程
2、为,即,同理,切线的方程为,又因为两切线都经过点,所以,所以直线的方程为,又,所以直线的方程可化为,即,令,得,所以直线恒过定点.2.面积问题例2:已知椭圆的左、右焦点分别为、,焦距为4,直线与椭圆相交于、两点,关于直线的对称点在椭圆上.斜率为的直线与线段相交于点,与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形面积的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由椭圆焦距为4,设,,连结,设,则,又,得,,,解得,,所以椭圆方程为.(2)设直线方程:,、,由,得,所以,由(1)知直线:,代入椭圆得,,得,由直线与线段相交于点,得,,而与,知,,由,得,所
3、以,四边形面积的取值范围.3.参数的值与范围例3:已知抛物线的焦点,点在抛物线上,过焦点的直线交抛物线于,两点.(1)求抛物线的方程以及的值;(2)记抛物线的准线与轴交于点,若,,求的值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)抛物线的焦点,,则,抛物线方程为;点在抛物线上,.(2)依题意,,设,设、,联立方程,消去,得.所以①,且,又,则,即,代入①得,消去得,,则,,则,当,解得,故.4.弦长类问题例4:已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与相交于,两点,与相交于,两点,且,求的取值范围.【答案
4、】(1);(2).【解析】(1)由题意可知:,又椭圆的上顶点为,双曲线的渐近线为:,由点到直线的距离公式有:,∴椭圆方程.(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为,代入,消去并整理得:,要与相交于两点,则应有:,设,,则有:,.又.又:,所以有:,,②将,代入,消去并整理得:,要有两交点,则.③由①②③有.设、.有,,.将代入有.,令,,令,.所以在内恒成立,故函数在内单调递增,故.5.存在性问题例5:已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆有两个不同交点,时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点
5、,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)不存在,见解析.【解析】(1)设椭圆的焦距为,则,∵在椭圆上,∴,∴,,故椭圆的方程为.(2)假设这样的直线存在,设直线的方程为,设,,,,的中点为,由,消去,得,∴,且,故且,由,知四边形为平行四边形,而为线段的中点,因此为线段的中点,∴,得,又,可得,∴点不在椭圆上,故不存在满足题意的直线.一、解答题1.已知动圆过点并且与圆相外切,动圆圆心的轨迹为.(1)求曲线的轨迹方程;(2)过点的直线与轨迹交于、两点,设直线,设点,直线交于,求证:直线经过定点.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1
6、)由已知,,轨迹为双曲线的右支,,,,曲线标准方程.(2)由对称性可知,直线必过轴的定点,当直线的斜率不存在时,,,,知直线经过点,当直线的斜率存在时,不妨设直线,,,直线,当时,,,得,,,下面证明直线经过点,即证,即,即,由,,整理得,,即即证经过点,直线过定点.2.已知点在椭圆上,设,分别为椭圆的左顶点、下顶点,原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆在第一象限内一点,直线,分别交轴、轴于,两点,求四边形的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为椭圆经过点,有,由等面积法,可得原点到直线的距离为,联立两方程解得,,所以椭圆的方程为.(2)设
7、点,则,即.直线,令,得.从而有,同理,可得.所以四边形的面积为.所以四边形的面积为.3.已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足,.(1)当点在圆上运动时,判断点的轨迹是什么?并求出其方程;(2)若斜率为的直线与圆相切,与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点,,且(其中是坐标原点),求的取值范围.【答案】(1)是以点,为焦点,焦距为2,长轴长为的椭圆,;(2).【解析】(1)由题意是线段的垂直平分线,所以,所以点的轨迹是以点,为焦点,焦距为2,长轴长为的椭圆,∴,,,故点的轨迹方程是.(2)设直线:,,,直线与圆相切,得,
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