资源描述：
《高二数学培优秘籍12---曲线与方程小专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、曲线与方程小专题Parti曲线方程的对称性两点的对称关系：1、A(Xf刃和(-x,刃:关于y轴对称；2、B(Xf刃和关于x轴对称；3、Cg刃和(7(-匕一刃:关于原点(0,0)对称；4、Dg刃和Dy,x):关于直线y=x对称;5、E(x,刃和E'(-y,-x):关于直线y=-x对称.我们用一个非常熟悉的曲线来诠释方程的对称性：x2+y2=lo这是一个圆心在原点(0,0)的单位圆。如果该方程过点A,则该方程必过点A',这个代数性质是我们得知方程必过关于y轴对称的两个点，那么原方程表示的曲线一定关于y轴对称。通过上述原理，我们可以概括为：性质1：用-X
2、去替换方程中的X,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于y轴对称.同理：性质2:用-歹去替换方程中的儿原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于x轴对称.性质3:用-x-y去替换方程中的x,y,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于原点(0,0)对称.性质4:用儿x去替换方程中的x,y,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于直线尹=x对称.性质5:用-儿-X去替换方程中的xj,原方程如果不变，则原曲线与方程小专题Parti曲线方程的对称性两点的对称关系：1、A(Xf刃和(-x,刃:关于y轴对称；2、B(Xf刃和关于x轴对称；3、Cg刃和(
3、7(-匕一刃:关于原点(0,0)对称；4、Dg刃和Dy,x):关于直线y=x对称;5、E(x,刃和E'(-y,-x):关于直线y=-x对称.我们用一个非常熟悉的曲线来诠释方程的对称性：x2+y2=lo这是一个圆心在原点(0,0)的单位圆。如果该方程过点A,则该方程必过点A',这个代数性质是我们得知方程必过关于y轴对称的两个点，那么原方程表示的曲线一定关于y轴对称。通过上述原理，我们可以概括为：性质1：用-X去替换方程中的X,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于y轴对称.同理：性质2:用-歹去替换方程中的儿原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定
4、关于x轴对称.性质3:用-x-y去替换方程中的x,y,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于原点(0,0)对称.性质4:用儿x去替换方程中的x,y,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于直线尹=x对称.性质5:用-儿-X去替换方程中的xj,原方程如果不变，则原方程表示的曲线一定关于直线y=-x对称.对于我们熟悉的单位圆：x2+/=1,从几何图形上看它关于x轴丁轴，原点，直线y=x,直线y=-x对称，从代数上看该方程满足上述5个性质.【例】:分析以下方程的对称性。(1)x4+/=l.【解析】从方程上看，满足性质1、2、3•所以该方程表示的ill
5、线关于X轴J轴，原点对称•用儿X去替换X,儿则原方程变为y+.v=i,并不和原方程一致，所以该方程表示的曲线并不关于直线y=x对称，同理:该方程表示的曲线并不关于直线y=-x对称•该方程表示的曲线如下图.(2)x，+W=l・【解析】从方程上看，只满足性质2.所以该方程表示的曲线关于尹轴对称•该方程表示的曲线如下图.(3)x2+&+”=1.【解析】从方程上看，满足性质3、4、5所以访方程表示的曲线关于原点、直线尹=x、直线_y=-x对称.该方程表示的曲线如下是一个斜着的椭圆.(4)x+3xy4-y'=I.【解析】从方程上看，满足性质3、4、5.所以该方
6、程表示的曲线关于原点、直线y=x、直线y=-x对称.该方程表示的曲线如下是双曲线.(5)
7、x
8、+M=l.【解析】从方程上看，满足性质1、2、3、4、5.所以该方程表示的曲线关于x轴』轴，原点，直线y=x.直线y=-x对称.该方程表示的曲线如下图.Part2曲线上点的距离问题【题目】曲线C:肩+“=1上任意一点到原点距离的最小值杲.【答案】芈4【解析】法一:不等式法曲线C上任意一点（X,刃到原点的距离为:石弔厂根据均值不等式等号成立的条件为:x=y.再利用均值不等式匡可得字V22224等号成立的条件为：x=”所以:血吋》予•等号成立1J5的条件为:x=
9、y=4,所以到原点距离的最小值是半.44法二:三角代换设依=cos'0,4y=sin0贝IJ曲线C上任意一点(x,刃到原点的足巨离为:〃=VcoW&+sirf〃=7(co&&+sirf0)1-2sin,0co《0=“-2cos〃sin0丫一2sin“Ocos'0•设sin〃cos0=加厕■Mlm=1(1-cos49)g0,—，则:d=J(1-2〃?)、-2〃7、.利用函数求8L4」/n最大值可以求得d斗.•4法三:几何法曲线上的点到一定点距离的最值满足:曲线上的点与定点的连线和曲线上在该点处的切线互相垂直.设曲线上的点坐标（兀，（氏-1））则在该点处
10、的切线斜率为亿=1_亠•该点与原点的斜率为比该点坐标为黑），所以到原点距离的最小值为拿根据几何特征可得：1-
