第14讲破解定积分的简单应用-精品高考数学基础+方法全解（原卷版）

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1、烹考纲要求：1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分;2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化.題基础知识回顾：1、曲边梯形的定义我们把由直线x=a,x=b(a^hy=0和曲线y=/(x)所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法分割一近似代替(以直代曲)一求和一取极限3、定积分的概念•一般地，设函数/(Q在区间因方］上连续，用分点a—xQ

2、,2,L,/7),作和式：=Y——M)Z=1/=!n如果Djv无限接近于0(亦即)时，上述和式S〃无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数/(兀)在区间［Q,b］上的定积分。记为：Srb=Jf(x)dx.9Ja其中J是积分号，〃是积分上限，。是积分下限，・/(")是被积函数,兀是积分变量,［⑦旬是积分区间，fgdx是被积式。【注］(1)定积分^f(x)dx是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即S”无限趋近的常数S时)记为［：/(工必，而不是S〃・(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割：〃等分区间［atb］；②近似代替：取点纟可兀十期；・h—cpb•h—c

3、③求和=④审陷6

4、3归八⑺—tr«°”4・定积分的性质根据定积分的定义，不难為出定却•分的如下性质：性质11吁(X)dK=kfj(QdMk%討幻(定积分佟左性性质h<••性质2

5、[/i(x)±f-.(x)]rfx=j^x)dx±*(x)dx[足积分的线性性质h*2■i2*'u2性质3fhf(x)dx=「/0)必+hf(x)cbc(^ao,那么定积分£7(%yr表示由^x=a,x=b(a^by=O^曲线y二fd)所围成的曲边梯形(

6、如图中的阴影部分)的面积。(2)从几何上看，如果在区间[日,幻上函数f仗)连续且恒有/(%)<0,那么定积分『/(兀眩表示由直线/=0以=级0工6』=0和曲线y二才仗)所围成的曲边梯形(如图中•的阴影部分)的面积的相反数。(3)从几何上看，如果在区间00]上函数fCr)连续，且函数y=f(x)的图像有一部分在x轴上方，有一部分在x轴下方，那么定积分(兀宓表示x轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。rb(4)图中阴影部分的面积S=][/；(%)-/•(x)]tZx6、微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间［⑦刃上的连续函数，并且Fx)=f(x),那么ff(

7、x)dx=F(b)-F(a)9这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼茨公式。为了方便,Ja我们常把F⑹-F(a)记成F(Q爲即『f{x)dx=F(x):=F(b)-F(a)。Ja计算定积分的关键是找到满足Fx)=/(x)的函数F(x)o7、公式(1)(cy)1=c(2)(sinx)1=cosa:(3)(-cosx)1=sinx(4)(xn+lA=mxn(nH—1)(5)(67Inx)f=—；(6)(ex)r=exn+x8、定积分的简单应用(1)在几何中的运用:计算图形的面积方法：画图一定域―分割面积->用定积分表示面积一计算(2)在物理中的应用：rbrbs=

8、IV(t)dtW=IF{x)dxJaJa9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求(2)利用微积分基本原理求，矇应用举例：【2017江西理】S}=£x2dx,S2=exdx,若，则si,s2,s3的大小关系为（）A.SiVS2VS3B.S2VS1VS3c.S2VS3VS1D.S3VS2VS137湖北理一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度心77+二的单位:s,v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：ni)是()l+251n5B.8+251n—C・4+251n5D.4+501n23■里变式训练：【变式订计算下列定积分’2、设f(

9、x)=【变式21求下列竝阴J围成丘也形的面税、=6—x,y=V8x,x=0.作出直绕y=6—x,般1、=区的佃，所求：枳为图中阴影期分的面积.惫方法、规律归纳：1、用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法.2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足.厂⑴=心)的函数F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出Hx).3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分.4、利用定积分求所围成平面图形的面