2014高考数学 基础+方法全解 第14讲 破解定积分的简单应用（含解析）

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1、2014高考数学基础+方法全解第14讲破解定积分的简单应用（含解析）考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化.基础知识回顾:1、曲边梯形的定义我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限3、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限

2、接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。【注】（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分对积分区间

3、的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。（4）图中阴影部分的面积S=6、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，

4、那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。计算定积分的关键是找到满足的函数。7、公式（1）（2）（3）(4)(5)；(6)8、定积分的简单应用（1）在几何中的运用：计算图形的面积方法：画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算（2）在物理中的应用:9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求（2）利用微积分基本原理求应用举例:【2013江西理】若，则s1,s2,s3的大小关系为（）A.s1＜s2＜s3B.s2＜s1＜s3C.s2＜s3＜s1D.s3＜s2＜

5、s1【2013湖北理】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）B．C．D．【应用点评】试题重点：定积分的表示以及基本运算试题难点：如何将实际问题转化为定积分进行求解，紧抓定积分的物理意义.名师点睛：在物理中的应用：（1）；（2）.变式训练:【变式1】计算下列定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)(cosx－ex)dx.【变式2】求下列曲线所围成的图形的面积

6、；y＝6－x，y＝，x＝0。作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．方法、规律归纳:1、用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f′(x)＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．4、利用定积分求所围成平

7、面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．实战演练:1、(1)2xdx；(2)(x2－2x)dx；(3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx.2、设f(x)＝，则f(x)dx等于(　　)A.B.C.D．不存在3、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积。4、求下列曲线所围成的图形的面积；y＝8－x2，y＝x2。5、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．