第14讲破解定积分的简单应用-精品高考数学基础+方法全解（解析版）

《第14讲破解定积分的简单应用-精品高考数学基础+方法全解（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、烹考纲要求：1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分;2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化.題基础知识回顾：1、曲边梯形的定义我们把由直线x=a,x=b(a^hy=0和曲线y=/(x)所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法分割一近似代替(以直代曲)一求和一取极限3、定积分的概念•一般地，设函数/(Q在区间因方］上连续，用分点a—xQ

2、任取一点l,2,L,/7),作和式：=Y——M)Z=1/=!n如果Djv无限接近于0(亦即)时，上述和式S〃无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数/(兀)在区间［Q,b］上的定积分。记为：Srb=Jf(x)dx.9Ja其中J是积分号，〃是积分上限，。是积分下限，・/(")是被积函数,兀是积分变量,［⑦旬是积分区间，fgdx是被积式。【注］(1)定积分^f(x)dx是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即S”无限趋近的常数S时)记为［：/(工必，而不是S〃・(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割：〃等分区间［atb］；②近似代替：取点纟可兀十期；

3、nb—c③求和：y—/G）；④取极限:r=l料4.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1£炉（兀）张=耳：/（小仕伙为當数）（定积分的线性性质）；性质2J/?［/；（x）±f2{x）}dx=Z{x）dxf2Mdx（定积分的线性性质）；性质3Cf（x）dx=「/（X）必+hf（x）cbc（^ao,那么定积分£7（%yr表示由^x=a,x=b（a^by=O^曲线y二fd）所围成的曲边梯形（如图中的阴影

4、部分）的面积。（2）从几何上看，如果在区间［日,幻上函数f仗）连续且恒有/（%）<0,那么定积分『/（兀眩表示由直线/=0以=级0工6』=0和曲线y二才仗）所围成的曲边梯形（如图中•的阴影部分）的面积的相反数。（3）从几何上看，如果在区间00］上函数fCr）连续，且函数y=f（x）的图像有一部分在x轴上方，有一部分在x轴下方，那么定积分（兀宓表示x轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。（4）图中阴影部分的面积S=\fSx）-f2（x）］dx6、微积分基本定理一般地，如果/(%)是区间［⑦切上的连续函数，并且Fx)=f(x),那么f/?ff(x)

5、djc=F(b)-F(a)9这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼茨公式。为了方便,Ja我们常把F(b)-F(a)记成F(琳，即J"f{x)dx=F(x)=F(/?)-F(a)。计算定积分的关键是找到满足Fx)=f(x)的函数F(x)。7、公式(1)(ex)1=c(2)(sinx)1=cosa:(3)(-cosx)"=sinx(4)(——xn+l)1=fnjc^-I)(5)(olnQ=仝；(6)(ex)r=ex刃+1x8、定积分的简单应用(1)在几何中的运用:计算图形的面积方法：画图〜定域〜分割面积〜用定积分表示面积一计算(2)在物理中的应用：

6、rbch5=1V⑴力W=F(x)cbcJaJa9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求(2)利用微积分基本原理求'用应用举例：a【2017江西理】5,=j(2JCdx.52=Jf2iir,S3=j"exclx,若，则sbS2,s3的大小关系为()【答案】【解析】g皿卜1际心十严“=厂亠一8,.S]

7、给定积分转化为几何图形的面积，比齟积的大小.[2017湖北理】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(r)=7-3r+—(t1+r的单位：s,v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：ni)是()1+25ln5B・8+251n—C・4+251n5D・4+501n23【答案】C【解析】令v(r)=7-3r+^=0,则心屯或心-■舍厂刹车后继续行驶的距庚1+r35=17-3r+—=[7r-—+251n(l丄莎£=4+251门「，故选C・g1+r2"【应用点评】试题重点：定积分的表示以及基本运算试题难点：如何将实际问题转化

8、为定积分进行求解，紧抓定积分的物理意义.名师点睛：r