第09讲无处不考的函数性质问题-精品高考数学基础+方法全解（解析版）

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1、急考纲要求：1・理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性.2•理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3•函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点.:矇基础知识回顾:1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I•如果对于定义域I内某个区间D上的任意两定义个自变量的值XpX2当x.

2、)

3、

4、)>f(X2),那么说函数f(x)在区间D

5、上是增函数就说函数f(X)在区间D上是减函数图象r1•1•A描述0XX2X自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.2.奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象

6、关于、做t称.3・奇、偶豳的性质(1)普通性质①W偶豳的定义域关于原翩稼磁的图jy«Rlfe；奇礙的图像关于原融称,③®函数在对称区间的増减性相反，奇濟L3区间的増壮性相同.④函数在原点有定义时,必有/(0)=0(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4.函数的周期性(1)周期函数的定义：若T为非零实数，对于定义域内的

7、任意X,总有/(x+T)=/(x)恒成立,则/(Q叫做周期函数，厂叫做这个函数的一个周期。(2)周期函数的性质：①若T是函数/(Q的一个周期，则kTgzZ®也是它的一个周期；②若/(兀)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为/(x)的最小正周期；③如果对于函数/(x)定义域中的任意兀,满足/(x+a)=/(x+Z>),则得函数/(兀)的最小正周期是a-b.【注】如果对于函数/(X)定义域中的任意兀，满足/(X+d)=/O+b),则得函数/(X)的周期是rT=a-h；如果对于函数/(兀)定义域中的任意x,满足/(x+6

8、Z)=/(-x+b),则得函数/(兀)的对称轴是x=旦。2庚应用举例:【2017山东理】已知函数/(兀)为奇函数，且当兀>0时，/(*)=〒+丄，，则/(—1)=()XA.-2【答案】AB.0C.1De2【解析】/(-!)=-/(!)=-2-【应用点评】试題重点’豳的奇偶性试題难点：磁的奇偶性的应用名师点睛=1、掇地，如果对于磁f(x)的定义域内任意都有f(—x)=f(»那么豳U(x)卿U做偶函般地，如果对于磁f(x)的定义域内仟玄f都有2'尸_f⑴，那么豳址删U做奇函数.2、奇、偶磁的性质(1)普通性质偶磁的定义域关于原点

9、对探険的图竺关于］辆巧陽奇輙的图像关于原点对称,灵疙MmJJ①S磁在对称区间的増减性相反，奇闕在对称区间的増减性相同.必有/(0)=0(2)在公共定义域内①两个奇礙的和是奇晦矢两个奇驗的积是偶眩6②两个偶磁的和、积都是偶隆矢【2017北京文】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+oo)上单调递减的是()(A)y=-X(B)y=ex(C)尹=』+1(D)J=lg

10、x

11、【答案】c【解析】、=3是奇豳6y=护是非奇牛偶函数(C)严「1既是偶豳又在区间(0,+M)上单调X逋减，y=l?IxI在(0,-工)上单调递増解答:円也可以借助

12、图象，利用数形结合解决【应用点评】试題重点=霧函数、对数函数、指数函左刈二次函数试題难点=磁的单调性与磁的诃偶性判走名师点睛：判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导'数、定义、复合、图像。【答案】c【解析】、=3是奇豳6y=护是非奇牛偶函数(C)严「1既是偶豳又在区间(0,+M)上单调X逋减，y=l?IxI在(0,-工)上单调递増解答:円也可以借助图象，利用数形结合解决【应用点评】试題重点=霧函数、对数函数、指数函左刈二次函数试題难点=磁的单调性与磁的诃偶性判走名师点睛：判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导'数、定

13、义、复合、图像。①定义法用定义法证明函数的单调性的是①设ED，且X<心②fl磋/(X］)—/(七“③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)④^断/(兀)-/(七)的正负符号，⑤《据定义下结论.①复合函数分析法设y=/(^)>衣=g(x)xe［aTb］,ue［阻川］都是单调则y=/［g