2014高考数学 基础+方法全解 第09讲 无处不考的函数性质问题（含解析）

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1、2014高考数学基础+方法全解第09讲无处不考的函数性质问题（含解析）考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．基础知识回顾:1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x

2、2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(

3、x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4．函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；③

4、如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。应用举例:【2013山东理】已知函数为奇函数,且当时,,则（）A.B.C.D.【答案】A【2013北京文】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）（A）(B)（C）(D)名师点睛：判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数、定义、复合、图像。（4）求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像。变式训练:【变式1】函数f(x)的定义域

5、为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数【变式2】求函数y＝log(x2－3x＋2)的单调区间．方法、规律归纳:判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数、定义、复合、图像。①定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。②复合函数分析法设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“

6、里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增③导数证明法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。④图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。（4）求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像。【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

7、2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．实战演练:1、定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是()A.B．C．D．【答案】C【解析】奇函数的为与,和为非奇非偶函数，故选C．2、设是以2为周期的函数，且当时，.【答案】-1【解析】∵是以2为周期的函数，且时，，则.3、已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。4、已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在

8、区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．综合①②可知，－1≤m＜1.5、定义在(－1,1)上的函数f(x)，满足(ⅰ)对任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f；(ⅱ)当x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题．(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f＝，