专题2.1 分段函数的性质、图象以及应用（讲）-2015年高考数学（理）二轮复习讲练测（解析版）

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1、热点一分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以

2、及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究

3、.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例1【2015高考新课标2，理5】设函数,()A．3B．6C．9D．12思路分析：首先注意到，，又，所以，从而可以求出最终的值.解析：由已知得，又，所以，故，故选C．点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，在求值时代入哪个解析式，一定要看清自变量的取值在哪一个区间上，从而选定相应的关系式代入计算，同时还要注意函数的周期性、奇偶性等，特别要注意分段区间端点的取舍．8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2分段函数与图象：分段函数的图象

4、分段画.例2【浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷】函数的图象为()思路分析：先简函数得，分段可画出函数图象.解析：当时，，，当时，，，，故函数图象为D.点评：化简函数解析式是作出函数图象的关键．[来源:Z§xx§k.Com]3分段函数与方程已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.例3【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为思路分析：由，所以，从而，即或[来源:Zxxk.Com]，只需画出与以及与的图像，先画出与的图像，再通过函数图像平移、对称

5、变化画出以上两种情况下的图像，通过观察交点个8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！数即可得出实根个数.解析：由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，先画出与的图像，如图所示：然后分别研究与的图像，如下图：以及与的图像，如下图：[来源:Z#xx#k.Com]由以上两图可知，共有4个交点，故实根个数为4.点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，要将方程化为几个具体的方程来解决．一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点

6、个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！确其变化速度快慢.4分段函数与不等式[来源:Z#xx#k.Com]将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【2016届山东省淄博实验中学高三第一次诊断性考试】已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．思路分析：对于分段函数，需要根据的不同取值，带入不同的表达式，当时，，于是由得，再根据恒成立，只需，，从而解出；

7、当时，按照以上方法同样可以求出，最终满足以上两个条件得出.点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，方程需按自变量的取值范围分类讨论，将不等式化为几个具体的不等式来解决．5分段函数与零点8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例5【2016届河北省邯郸市一中高三一轮考试二】已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．思路分析：先画出函数的图象，由图象观察出与图像

8、的交点个数，令，从而讨论的根的情况，最后用线性规划的思想求出的取值范围.解析：函数的图像如上图所示，显然直线与图像有4个交点，且函数图像与轴有3个交点．设,则．①当该方程无解时，显然关于的方程无实数解；②当该方程有1个解时，显然关于的