2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用(讲)(解析版).doc

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1、专题15分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体,考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数,由分段函数本身的特点,使得一个函数在各段上有不同的解析式,所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中,考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查,重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上;要求学

2、生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握比较模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外,主要是学生的作图能力普遍较弱,还有就是没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.知识储备:分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值,

3、讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.分段函数的函数值问题:(1)已知自变量求函数值例、已知函数=,若=4,则实数=A.B.C.2D.9【答案】C【解析】∵,∴.于是,由得.故选.例、设,则的值为A.1B.0C.D.【答案】B【解析】∵π是无理数∴g(π)=0则=f(0)=0,故选B.例、函数满足,且在区间上,则的值为.【答案】【解析】因为函数满足(),所以函数的最小正周期是4.因为在区间上,,所以.(2)已知函数值求自变量:已知函数值求自变量或其它参数的值的问题,一般按自变量的

4、取值范围分类讨论,通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例、已知函数.若,则实数的值等于A.-3B.-1C.1D.3【答案】A【解析】当时,由得,无解;当时,由得,解得,故选A.例、已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(  )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】因为f(x)=f(a)=-3,所以或解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-,选A.分段函数的定义域值域问题:例、如图为一分段函数的图象,则该函数的定义域为________,值域为____

5、____.【答案】[-1,2] [-1,1)【解析】由图象可知,第一段的定义域为[-1,0),值域为[0,1);第二段的定义域为[0,2],值域为[-1,0].所以该分段函数的定义域为[-1,2],值域为[-1,1).例、若函数(且)的值域是,则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为,所以当时,;又函数的值域为,所以,解得,所以实数的取值范围为.分段函数的图象问题:(1)由式定图:根据解析式确定函数的图象例、已知函数f(x)=则正确的函数图象是(  )【答案】A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点

6、(-1,0),显然D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.所以选A.(2)由图定式:根据图象求函数的解析式例、如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4),求函数f(x)的解析式.【答案】f(x)=【解析】设线段AB所对应的函数解析式为y=kx+b,将与代入,得∴∴y=-2x+4(0≤x≤2).同理,线段BC所对应的函数解析式为y=x-2(2

7、:例、已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象是(  )解析:当x=0时,y=f(1)=3,即y=f(1-x)的图象过点(0,3),排除A;当x=-2时,y=f(3)=-1,即y=f(1-x)的图象过点(-2,-1),排除B;当x=-时,y=f=<0,即y=f(1-x)的图象过点,排除C,故选D.分段函数与方程问题:例、对实数与,定义新运算“”:设若函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是A. B.C.D.【答案】B【解析】由题意知,若,即时,;当,即或时,,要使函数的图像与轴恰有两

8、个公共点,只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.例、已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是.【答案】【解析】当时,由,得;当时,由,得.令,作出直线,,函数的图象如图所示,的最大值为,由图象可知,若恰有2个互异的实数解,则,得.分段函数与不等式将分段函数与不等式结合,考查函数单调性及解不等式知识,体现分类讨论思想.例、已知为偶函数,当时,,则不等式的解集为A.B

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