高三数学小题综合限时练（五）

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(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝(　　)A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析　由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝(0，1]，得M∪N＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A.答案　A2.已知复数z＝＋2i，则z的共轭复数是(　　)A.－1－iB.1－iC.1＋iD.－1＋i解析　由已知z＝＋2i＝1＋i，则z的共轭复数z＝1－i，选B.答案　B3.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y＝f(x)的单调性相同的是(　　)A.y＝－x2＋1B.y＝|x＋1|C.y＝e|x|D.y＝解析　由已知得f(x)是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C.答案　C4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则f＝(　　)A.1B. C.－1D.－解析　由题图知，A＝2，且T＝－＝，则周期T＝π，所以ω＝2.因为f＝2，则2×＋φ＝，从而φ＝.所以f(x)＝2sin，故f＝2sin＝1，选A.答案　A5.下列四个结论：①p∧q是真命题，则綈p可能是真命题；②命题“∃x0∈R，x－x0－1＜0”的否定是“∃x∈R，x2－x－1≥0”；③“a＞5且b＞－5”是“a＋b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y＝xa在区间(0，＋∞)上单调递减.其中正确结论的个数是(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个解析　①若p∧q是真命题，则p和q同时为真命题，綈p必定是假命题；②命题“∃x0∈R，x－x0－1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”；③“a＞5且b＞－5”是“a＋b＞0”的充分不必要条件；④y＝xa⇒y′＝a·xa－1，当a＜0时，y′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B.答案　B6.过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝(　　)A.0B.C.5D.解析　由圆C：x2＋y2－4y－1＝0得C(0，2)，半径r＝.∵过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，∴·＝0， ∴·＝(＋)·＝2＝5，所以选C.另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.答案　C7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为＝0.8x－155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为(　　)x196197200203204y1367mA.8.3B.8.2C.8.1D.8解析　x＝＝200，y＝＝.由回归直线经过样本中心，＝0.8×200－155⇒m＝8.故选D.答案　D8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于(　　)A.2　　　.1C.　　　.解析　由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V＝×1×1×2－××1×1×2＝.故选C.答案　C 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是(　　)A.14B.15C.16D.17解析　由程序框图可知，从n＝1到n＝15得到S＜－3，因此将输出n＝16.答案　C10.若实数x，y满足的约束条件将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值的概率为(　　)A.B.C.D.解析　约束条件为一个三角形ABC及其内部，其中A(2，－1)，B(－2，－1)，C(0，1)，要使函数z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值，需满足－≤－1⇒b≤2a，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a，b)，其中满足b≤2a有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为＝.选A.答案　A11.如图所示，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E－ ABCD的外接球的表面积为(　　)A.B.8πC.16πD.64π解析　将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O，底面重心为G，则△OGD为直角三角形，OG＝1，DG＝，∴R2＝4，∴多面体E－ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.故选C.答案　C12.已知函数f(x)＝a－x2(其中e为自然对数的底数)与函数g(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C.[1，e2－2]D.[e2－2，＋∞)解析　由已知得方程－(a－x2)＝2lnx，即－a＝2lnx－x2在上有解，设h(x)＝2lnx－x2，求导得h′(x)＝－2x＝，因为≤x≤e，所以h(x)在x＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h(x)max＝h(1)＝－1，h＝－2－，h(e)＝2－e2，且h(e)＜h，所以h(x)的最小值为h(e)＝2－e2.故方程－a＝2lnx－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，从而解得a的取值范围为[1，e2－2]，故选C.答案　C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.若随机变量ξ～N(2，1)，且P(ξ＞3)＝0.158，则P(ξ＞1)＝________.解析　∵随机变量ξ～N(2，1)，∴正态曲线关于x＝2对称，∵P(ξ ＞3)＝0.158，∴P(ξ＞1)＝P(ξ＜3)＝1－0.158＝0.842.答案　0.84214.若二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________.(请用数字作答)解析　因为二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n＝8，展开式通项为Tk＋1＝Cx8－k(－1)kx－k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3；则展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.答案　－5615.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a＝______.解析　因为抛物线的准线为x＝－，则有1＋＝5，得p＝8，所以m＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－，0)，则有＝，解得a＝.答案　16.已知函数f(x)＝若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是________.解析　当x＜1时，f(x)＝－|x3－2x2＋x|＝－|x(x－1)2|＝当x≤0时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)＞0，f(x)是增函数；当0＜x＜1时，f′(x)＝－(x－1)(3x－1)，所以f(x)在上是减函数，在上是增函数，作出函数y＝f(x)在R上的图象，如图所示. 命题“∃t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，即对任意的t∈R，且t≠0，f(t)＜kt恒成立，作出直线y＝kx，设直线y＝kx与函数y＝lnx(x≥1)的图象相切于点(m，lnm)，则由(lnx)′＝，得k＝，即lnm＝km，解得m＝e，k＝.设直线y＝kx与y＝x(x－1)2(x≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y′＝(x－1)(3x－1)，则k＝1，由图象可知，若f(t)＜kt恒成立，则实数k的取值范围是.答案