3.1.3导数的几何意义 (3)

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1、导数的几何意义教学设计（教案）一、【教学目标】1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。（数形结合），即：＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的

2、意识。【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义二、【教学过程】（一）课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、

3、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）7师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”）生1：研究导数的代数表达式。师：那必然就要回忆求导数的步骤了。生（齐）：分三步：第一步：求第二步：求平均变化率；第三步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是。（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数

4、的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：师：第一步：的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出）生：当与所对应的函数值的差量。师：很好，那么第二步：平均变化率的几何意义是什么？（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。生2：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。其中。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）师：第二步：时，割线有什么变化？请用你的笔描绘出来。（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在与之间。）教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向

5、其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：，师（趁胜追击）：很好，那么当，于是A，B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近A，最后会---------生(齐):重合。师：那么直线AB？生（齐）：变成一条切线了。师：大家真不错，确实，当，割线7有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在处的切线，下面请把它画出来。等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。结论：（形），割线切线，则割线的斜率切线的斜率。（口述）由数形结合，得　＝切线的斜率。（板书）所以，函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的

6、切线AD的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）（二）深入研究，知识拓展师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。师：讲得非常好，确实如此，但从刚才

7、那刻开始，将会有变数。（展示如下动画，A点----直线l1----B----直线l2）。学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。7师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。（三）“以直代曲”思想利用PPT做出三个

8、切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：根据导数的几何意义，