2016年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）（解析版）

《2016年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

2015-2016学年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）　一、选择题：1．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（　　）A．3﹣4iB．3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+4i　2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）A．￢p：∀x∈A，2x∉BB．￢p：∀x∉A，2x∉BC．￢p：∃x∉A，2x∈BD．￢p：∃x∈A，2x∉B　3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　）A．B．C．D．　4．已知a=2，b=log2，c=log，则a，b，c的大小关系为（　　）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a　5．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）A．B．﹣C．D．﹣　 6．设各项均不为0的数列{an}满足an+1=an（n≥1），Sn是其前n项和，若a2a4=2a5，则S4=（　　）A．4B．8C．3+3D．6+6　7．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（　　）A．B．C．6D．5　8．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（　　）A．B．C．D．　　二、填空题：9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于　　　　　　．　10．在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　　　　　　．　11．已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），则直线l与圆C的位置关系是　　　　　　．　12．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=　　　　　　． 　13．如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为　　　　　　．　14．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若对∀x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．　　三．解答题（共6题，80分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．　16．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．　17．设函数f（x）=．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．　 18．正项数列{an}满足f（an）=（an≠2），且{an}的前n项和Sn=[3﹣]2．（Ⅰ）求证：{an}是等差数列；（Ⅱ）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．　19．已知函数f（x）=1nx﹣﹣2x（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（3）若a=﹣时，关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．　20．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．　　 2015-2016学年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：1．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（　　）A．3﹣4iB．3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．　2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）A．￢p：∀x∈A，2x∉BB．￢p：∀x∉A，2x∉BC．￢p：∃x∉A，2x∈BD．￢p：∃x∈A，2x∉B【考点】全称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．　3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　） A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力　4．已知a=2，b=log2，c=log，则a，b，c的大小关系为（　　）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴b＜a＜c， 故选：A．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　5．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．　6．设各项均不为0的数列{an}满足an+1=an（n≥1），Sn是其前n项和，若a2a4=2a5，则S4=（　　）A．4B．8C．3+3D．6+6【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】易得数列{an}为公比q=的等比数列，由已知式子可得a1=2，代入求和公式可得．【解答】解：∵各项均不为0的数列{an}满足an+1=an（n≥1），∴=，即数列{an}为公比q=的等比数列， ∵a2a4=2a5，∴a1q•a1q3=2a1q4，解得a1=2，或a1=0（矛盾，舍去）∴S4===6+6故选：D【点评】本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的判定，属基础题．　7．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（　　）A．B．C．6D．5【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原式可化为+=1，可得3m+4n=（3m+4n）（+）=+++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数m，n满足m+3n=5mn，∴=1，即+=1，∴3m+4n=（3m+4n）（+）=+++≥+2=5，当且仅当=即m=1且n=时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．　8．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（　　）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围． 【解答】解：因为f（x）=，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．　二、填空题：9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于　　．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】已知中的三视图可知：该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体，分别计算他们的体积，相加可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体，半圆柱的体积为：π•12×2=π，三棱柱的体积：=2．该几何体的体积等于：． 故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．　10．在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　　．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　11．已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），则直线l与圆C的位置关系是　相切　．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先把直线与圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，只要比较d与r的大小即可．【解答】解：直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数得x﹣y﹣2=0，圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+），直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．圆心C（1，1），半径r=；∴圆心C（0，0）到直线l的距离d==r，∴直线x﹣y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，∴直线l与圆C的公共点的个数只有一个．故答案为：相切． 【点评】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系是解题的关键．　12．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=　　．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．　13．如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为　　．【考点】圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何． 【分析】根据DE∥AC利用平行线的性质，证出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理证出∠BDE=∠PAE，从而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出PA的长．【解答】解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．∵∠BED=∠PEA，∴△BED∽△PEA，可得，∴AE2=BE•AE=PE•ED=6．由此解出AE=．∵AE2=GE•EF，∴GE=2，∴PG=1，∴PA2=PG•PF=6，∴PA=．故答案为：．【点评】本题给出圆满足的条件，求线段PA的长．着重考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．　14．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若对∀x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是　a≤7　．【考点】函数恒成立问题．【专题】证明题．【分析】利用定义求出：（x﹣a）⊗x≤a+2得（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，对不等式进行整理变形a≤﹣1=x﹣2++3，利用均值不等式求表达式的最小值即可．【解答】解：∵（x﹣a）⊗x≤a+2，∴（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴a≤﹣1=x﹣2++3，∵x﹣2++3≥7，∴a≤7． 【点评】考察了对题中定义的理解，和对式子的变形，利用均值定理证明不等式．　三．解答题（共6题，80分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，由cosC=﹣cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由sinC，a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc可得：a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，∴sinA==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC==，在△ABC中，由正弦定理==，得：c===8，则S=acsinB=×5×8×=10．【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．　16．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率； （Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X012PEX=0×+1×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．　17．设函数f（x）=．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用和差角公式对f（x）可化为：f（x）=sin（2x+），由周期公式可求最小正周期，令2x+=kπ+，解出x可得对称轴方程；（2）根据图象平移规律可得g（x）=﹣cos2x，由x的范围可得2x范围，从而得cos2x的范围，进而得g（x）的值域；【解答】解：f（x）=sin2xcos+cos2xsin﹣cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），（1）所以f（x）的最小正周期为T=π，由2x+=kπ+，得x=，k∈Z，所以函数f（x）图象的对称轴方程为：x=，k∈Z；（2）由题意得，g（x）=f（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，∵x，∴，从而cos2x∈[﹣，1]，所以g（x）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键．　18．正项数列{an}满足f（an）=（an≠2），且{an}的前n项和Sn=[3﹣]2．（Ⅰ）求证：{an}是等差数列；（Ⅱ）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用an与Sn的关系求得an﹣an﹣1=2，由等差数列的定义可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得bn==，利用错位相减法求得数列的和．【解答】（Ⅰ）证明：∵f（an）=（an≠2），Sn=[3﹣]2．∴Sn=[3﹣（2﹣an）]2=．当n=1时，由a1=，得a1=1，当n≥2时，Sn﹣1=， 由an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣+2an﹣2an﹣1），整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∴当n≥2时，由题意an＞0，则an﹣an﹣1=2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知{an}的通项公式为an=2n﹣1，∴bn==，∴Tn=+++…+，Tn=+++…+，两式作差得Tn=+++…+﹣，∴Tn=2×（+++…+）﹣﹣=2×﹣﹣=﹣，∴Tn=3﹣．【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和等知识，考查学生的运算能力，属中档题．　19．已知函数f（x）=1nx﹣﹣2x（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（3）若a=﹣时，关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数f'（x），根据题意解关于a的等式f'（2）=0，即可得到实数a的值； （2）由题意，不等式f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，等价转化为a≤在（0，+∞）内恒成立，求出右边的最小值为﹣1，即可得到实数a的取值范围；（3）原方程化简为x2﹣x+lnx﹣b=0，设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0），利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=﹣ax﹣2=﹣（x＞0）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f'（2）=0，即=0，解之得a=﹣（经检验符合题意）（2）由题意，得f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在（0，+∞）内恒成立，∵x2＞0，可得a≤在（0，+∞）内恒成立，∴由=（﹣1）2﹣1，当x=1时有最小值为﹣1，可得a≤﹣1因此满足条件的a的取值范围为（﹣∞，﹣1]（3）a=﹣，f（x）=﹣x+b即x2﹣x+lnx﹣b=0设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，（x＞0），可得g'（x）=列表可得∴[g（x）]极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2；[g（x）]极大值=g（1）=﹣b﹣∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，且g（4）=2ln2﹣b﹣2∴，解之得ln2﹣2＜b≤﹣ 【点评】本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．　20．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=ex﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），