四阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性

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1、第30卷第1期2012年2月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAV队TIONI仆眦RSITYoFCHINAV01．30No．1February2012四阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性高永馨，余培照(中国民航大学理学院，天津300300)摘要：讨论了非线性四阶常微分方程)，H’=八菇，，，，Y’，广，广)在混合两点边值条件Y’(口)=0，)，”(n)+)，”(6)=0，y(b)=0，广(6)=0或Y7(a)=0，广(口)+广(6)=0，y(b)=O。广(6)=0下，解的存在唯一性。其中f在陋

2、，b】×R4上连续且满足Lipschitz务件。并在推广后的Lipschitz条件与Banach压缩映射原理基础上，得到一些新的存在唯一性结果。关键词：非线性四阶微分方程；混合两点边值问题；Green函数；解的存在唯一性中图分类号：0189．1l文献标志码：A文章编号：1674—5590(2012101-0060—04Existenceanduniquenessofsolutionsofmixedtwo-pointboundaryvalueproblemsforfourth-orderdifferenti

3、alequationGA0Yong-xin,YUPei-zhao(cD如俨ofScience，CAUC，Tianjin300300，China)Abstract：Theauthorsstudytheexistenceanduniquenessofsolutionsofthefourth-orderordinarydifferentialequationY“’=八石，Y，Y7，厂，广)withthemixedtwo-pointboundaryconditionsY’(口)=0，Y”(n)+厂(6)=0，y(

4、b)=O，厂(6)=00ry’(a)=0，广(口)+广(6)=0，y(b)=0，，，”(6)=0wherethefunctioniscontinuouson【口，b】×R4andsatisfiestheLipschitzcondition．Somenewexistenceanduniquenessresults玳obtainedbydevelopingtheLipsehitzconditionandtheBanachcontractionmappingprinciple．Keywords：nonlinea

5、rfourth—orderdifferentialequation；mixedtwo-pointboundaryvalueproblem；Green’Sfunction；existenceanduniquenessofsolutions随着常微分方程边值问题研究的不断完善，Green函数法在处理非线性常微分边值问题解的存在唯一性方面也由二阶扩宽到高阶，文献【l】中对二阶边值问题介绍的比较完善，对于三阶的问题目前也有相应的研究，文献【2—3】是针对四阶边值问题。文献【2]是针对较特殊的函数使用的Green函

6、数法，文献【3】就更一般的函数在单点边值条件下进行了讨论。边值条件的给定对解的存在唯一性的讨论及实际应用价值起着关键的作用，文献中给出的都只是在单点边值条件下的讨论，对于一般的线性组合的边值条件目前尚未给出相应的结果。本文第l部分就边值条件更一般的情况利用Green函数法及Banach压缩映射原理{4l，给出了四阶微分方程边值问题的存在唯一性结论。对于只在局部满足Lipschitz条件的情况，文献[1，5】针对二阶、三阶的情况有相应的结论。本文第2部分在第l部分的基础上将结论推广到只在局部满足Lipsch

7、itz条件的情况，两部分相结合使四阶边值问题解的存在唯一性理论更加完善，也更具有实际应用价值。本文讨论了四阶常微分方程Y㈨=∥z，Y，Y7，广，尸)(1)在混合边界条件Y’(a)=0，(o)+厂(6)=0Y(b)=0∥(6)=0(2)或，，’(口)=0∥(口)+y,i(6)=0Y(b)=0，(b)=0(3)下解的存在唯一性。1边值问题解的存在唯一性在本节的讨论中，假设函数，在a，b】×R4上连续收稿日期：201l—09一19：修回日期：2011-ll—02作者简介：高永馨(1966一)，女，吉林辽源人。教

8、授。硕士．研究方向为常微分方程边值问题．第30卷第1期高永馨，余培照：四阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性一61一且满足Lipschitz条件，即存在非负常数K、￡、P、Q，使得l∥戈，M，“’，M”，“”)一“菇，秽，秽’，z)”，秽⋯)l≤Klu一移I+Llu7一秽’I+尸I“”一口”l+Qlu”一秽⋯I(4)成立；X为c(3’瞳，6】空间。V)，∈x，定义范数如下圳=max{Kly(x)I-i-￡陟’(石)I+尸I厂(