一类四阶两点边值问题解的存在性的上下解方法

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1、第2o卷第1期茂名学院学报V01．2ONo．12o10年2月JOURNAI．OFMAOMⅡGUNIVERSnYFeb．2009一类四阶两点边值问题解的存在性的上下解方法席进华(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作747000)讨论了四阶两点常微分方程边值问题的解的存在性，~7．dpf．[0，1]×连续，>0为常数。利用上下解方法给出了解的存在性结果。关键词：边值问题；上下解；四阶；两点。中图分类号：O175．8文献标识码：A文章编号：1671—6590(2010)01—0052—03考察四阶两点常微分方程边值问题f“’(t)一(t)=厂(t，(￡)，(￡))⋯．【(O)=(1)=(0)

2、=(1)=0一的解的存在性。其中厂：[0，1]×R一尺连续，>0为常数。对于四阶常微分方程边值问题的物理意义可参考文献[1]。在文献[2—7]中对于四阶常微分方程边值问题的解的存在性都有研究。本文利用上下解方法研究该问题解的存在性。上下解方法是研究常微分方程边值问题解的存在性的主要方法，可参考文献[8一lO]。本文只是在假设函数f(t，，)，)满足某种单调性的条件下给出了解的存在性，而没有假设函数厂(t，，)，)满足Nagumo条件。．1预备知识引理1假设h(￡)，∈C[0．1】'>O，对于二阶两点边值问题f(t)一(￡)=^(t)(2)【(O)=(1)=0存在唯一的解：(t)=一

3、IGl(t，s)h(s)ds，(3)其中G(t，s)是边值问题：f(t)一2x(t)=0(4)(O)=(1)=0的Green函数，即：f旦，0≤s≤￡≤1(5)一。证明显然。引理2假设(t)∈C[0'，】，>0，(t)∈c40．1]为四阶两点边值问题收稿日期：20o9—10—05；修回日期．'2009—12—30基金项目：甘肃民族师范学院校长基金资助项目作者简介：席进华(1967一)，男，甘肃省通谓县人，本科，副教授，主要研究非线性常微分方程边值问题。第1期席进华：一类四阶两点边值问题解的存在性的上下解方法53【戈(0)>1o-，(1；)≥O，(0)≤。0xrn(，1)≤O㈤一的解

4、，则有(t)≥0，(t)≤0，t∈[o，1]。证明：令“’(t)一Ax"(t)=h(t)，x(O)=1，(1)=2，(O)=3，(1)=4，则h(t)≥0，1>10，2>10，3≤0，4≤0。根据引理1可得：(￡)=R(f)一IG2(t，s)(t)ds+lG(f，)IG1(，s)h(s)dsd~(7)(￡)=(t)一lGI(t，s)h(s)ds(8)其㈤(1-t㈩+}(毗’G2()为边值问题笛1)=。Green数，即G二善冀：另一方面，根据引理的条件知，(t)≤0，R(t)I>0，t∈[0，1]；G1(t，s)≥0，G2(t，s)I>0，(t，s)∈[0，1]×[0，1]。从而有(

5、t)≥O，(t)≤0，t∈[0，1]。定义称a(t)∈c40．1]为问题(1)的上解，如果满足aH’(t)≥t，口(t)，(t))(10)a(0)≥O，a(1)≥0，(O)≤0，(1)≤0．(1I)称卢(t)∈c40．1]为问题(1)的下解，如果(10)和(11)式中相反的不等式成了。称(t)∈c40．1]为问题(1)的解，如果(10)和(11)式中等式成立。2结论定理假设>o。如果问题(1)存在上下解a(t)，J9(t)∈c40．1】，且满足(￡)≤a(t)，t7'(t)≥a(￡)．厂：[0，1]×—R连续，且满足：t，1，Y)一t，2，Y)≤O，(t)≤l≤2≤a(t)，(t)

6、≤y≤t7'(t)，t∈[0，1](12)f(t，，Y1)一t，，Y2)≥O，p(t)≤≤a(￡)，(￡)≤Yl≤Y2≤(￡)，t∈[0，1](13)则存在两个函数列{a(￡)}和}()}分别收敛于问题(1)的解。rlrl证明：定义算子：：c20，。r-*C~o．1J，(￡)=I，G：(￡，)IG。(，s)厂(s，(s)，(s))dsd，其中G(f，uJUs)和G(t，s)如式(5)和式(9)。设s={(t)∈c’1]I(t)≤(t)≤a(t)，(t)≤(t)≤(t)，t∈[0，1]}下证∈S。V(t)∈S，记y(t)，(￡)，则y¨’(t)=t，(t)，(t))，t∈[0，1]，

7、y(0)=y(1)=(0)=(1)=0令'7(t)=a(t)一y(t)，则由a(￡)的定义以及定理的条件(12)和(13)知j7“’(t)一(t)=t，a(t)，(t))一t，(t)，(t))I>0，tE[0，1](0)I>o，，7(1)I>o，(O)≤0，(0)≤O由引理2知，(t)≥O，(t)≤O，t∈[o，1]，即y(t)≤0(t)，(t)≥at(t)，￡∈[0，1]。同理可证，Y(t)≥．I9(t)，(t)≤(t)，t∈[0，1]，则Y(t)∈S，即∈S。对V