2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学案新人教A版必修1

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1、第1课时 函数的单调性学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)[自主预习·探新知]1.增函数与减函数的定义条件一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特

2、征?[提示] 定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1

3、,所以函数f(x)在[-1,2]上是增函数.(  )(2)若f(x)为R上的减函数,则f(0)>f(1).(  )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.(  )[答案] (1)× (2)√ (3)×2.函数y=f(x)的图象如图131所示,其增区间是(  )图131A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]C [由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.]3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是(  )【导学号:37102125】

4、A.y=-      B.y=xC.y=x2D.y=1-xD [函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.]4.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.(-∞,1) [因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).][合作探究·攻重难]求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.(1)f(x)=-;(2)f(x)=(3)f(x)=-x2+2

5、x

6、+3.【导学号:37102126】[解

7、] (1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.(3)因为f(x)=-x2+2

8、x

9、+3=根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.[规律方法

10、] 1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).[跟踪训练]1.(1)根据如图132说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;图132(2)写出y=

11、x2-2x-3

12、的单调区间.[解] (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.(2)先画出f(x)=的图象,如图.所以y=

13、x2-2x-3

14、

15、的单调减区间为(-∞,-1],[1,3];单调增区间为[-1,1],[3,+∞).函数单调性的判定与证明 证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.【导学号:37102127】思路探究:―→[证明] 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x10,即f(x1)>f(x2),∴f(x)=x+在(0,1)上是减函数.[规律方法] 利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,

16、x2是该区间内的任意两个值,且x1

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