高中数学集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值学案

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1、第2课时　函数的最大值、最小值学习目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法(重点).知识点　函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标【预习评价】　(

2、正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值.(　　)(2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值.(　　)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b).(　　)提示　(1)×　反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值.(2)×　若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m.(3)√　由于f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(a)≤f(x)≤f(b

3、).故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b).题型一　用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】　(1)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.(2)求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值.(1)解析　作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.答案　1　0(2)解　任取2≤x1

4、x2)＝，f(x2)－f(x1)＝－＝.∵2≤x10，x1－1>0，∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)

5、训练1】　已知函数f(x)＝x＋.(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.(1)证明　任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·.∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.(2)解　由(1)可知，f(x)在[1，4]上递增，∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)

6、＝2，当x＝4时，f(x)max＝f(4)＝.综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.题型二　函数最值的实际应用【例2】　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解　(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝(2)当0≤x≤400时，f(x)

7、＝－(x－300)2＋25000；∴当x＝300时，f(x)max＝25000，当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＜25000.∴当x＝300时，f(x)max＝25000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元.规律方法　求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化

8、成函数问题.(3)求解：选择合适的数学方法求解函数.(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.【训练2】　某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80吨.现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解　设t小时后，池中水量为y吨，则y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50