江苏高考数学一轮复习《椭圆的标准方程》教程学案

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1、第46课　椭圆的标准方程1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质.2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.1.阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a2－c2＝b2的合理性与必要性.3.践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理

2、科完成选修21相应任务).　基础诊断　1.已知下列方程：①＋＝1；②4x2＋3y2＝12；③2x2＋2y2＝5；④＋＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有　②④　.(填序号)解析：①的方程表示焦点在x轴上的椭圆；将②的方程4x2＋3y2＝12化为＋＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.2.已知M(1，0)，N(0，1)，动点P满足PM＋PN＝2，则点P的轨迹是　椭圆　.3.已知椭圆＋＝1，其焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则PF1＝　　，PF2＝　　.解析：由题意得c＝＝3，所以F2(3，0).设PF1的中点为Q，则OQ

3、∥PF2，所以PF2垂直于x轴，故可设P(3，y0)，所以＋＝1，所以y0＝±，所以PF2＝.又因为PF1＋PF2＝4，所以PF1＝.4.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　(1，2)　.7解析：由题意得2k－1>2－k>0，所以1b>0).由题意知2a＝10，c＝4，所

4、以a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).由题意及椭圆定义知2a＝＋＝2，　　所以a＝.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以椭圆的标准方程为＋＝1.求满足下列条件椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)；(2)经过两点A(0，2)和B.解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，7设方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1，所以a＝3.又2a＝3·2b，所以b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆过点A(

5、3，0)，所以＝1，所以b＝3.又2a＝3·2b，所以a＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.　(2)设经过两点A(0，2)，B的椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，将A，B两点的坐标代入方程得解得所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.考向❷椭圆的定义及应用例2　求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.解析：将圆的方程化简为(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2，0)，r＝6.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C，如图所示.则BC－MC＝BM，而BC＝6，所以BM＋CM＝6.又CM＝AM，所以BM＋AM＝6

6、>AB＝4，7所以点M的轨迹是以点B(－2，0)，A(2，0)为焦点、线段AB的中点(0，0)为中心的椭圆，所以a＝3，c＝2，b＝，所以所求轨迹方程为＋＝1.已知定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且AC＝CB，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程.解析：(1)因为点F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，所以圆N内切于圆M.因为NM＋NF＝4＞FM，所以点N的轨迹E是以M(－，0)，F(，0)为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝，所以b＝1，所以轨迹E的方程为＋y

7、2＝1.(2)①当AB为长轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，此时S△ABC＝·OC·AB＝2.②当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y＝kx，联立方程可得x＝，y＝，7所以OA2＝x＋y＝.由AC＝CB知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为y＝－x，由得x＝，y＝，所以OC2＝.S△ABC＝2S△OAC＝OA·OC＝·