江苏高考数学一轮复习《简单的轨迹方程》教程学案

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1、第51课　简单的轨迹方程1.了解曲线与方程的对应关系.2.了解求轨迹方程的一些常见方法：定义法、直接法、相关点法，并能学会运用这些方法求简单轨迹(方程).1.阅读：选修21教材第60～65页.2.解悟：①求曲线方程的一般步骤是什么？你能用流程图表示出来吗？②建立圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的过程，查看教材相应内容；③求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.3.践习：在教材空白处，完成选修21第64页练习1，2.　基础诊断　1.已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy

2、)的轨迹方程为　y＝x2－，x∈[－，].解析：因为点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上，所以x2＋y2＝1.设点Q(x0，y0)＝(x＋y，xy)，则所以x＝x2＋2xy＋y2＝1＋2y0，即点Q的轨迹方程为y＝x2－.因为≤＝，所以x＋y∈[－，]，即x0∈[－，]，所以点Q的轨迹方程为y＝x2－，x∈[－，].2.两条直线x－my－1＝0与mx＋y－1＝0的交点的轨迹方程是　x2＋y2－x－y＝0(x2＋y2≠0)　.解析：设交点坐标为(a，b)，则坐标满足方程组解得即＝，则a2＋b2－a－b＝0，故交点的轨迹方程为x2

3、＋y2－x－y＝0(x2＋y2≠0).3.若分别过点A1(－1，0)，A2(1，0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是　x2＋y2＝1　Ｗ.解析：交点M的轨迹是以A1A26为直径的圆，所以圆心为(0，0)，半径为1，轨迹方程为x2＋y2＝1.4.若动圆M过点P(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心M的轨迹方程是　x2＝8y　.解析：根据题意动圆的圆心M到点P(0，2)与到直线y＝－2的距离相等，则M的轨迹为以P(0，2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，则其轨迹方程为x2＝8y.　范例导航　考向❶直接法求轨迹方程

4、例1　已知线段AB长为2，动点M到A，B两点的距离的平方和为10，求点M的轨迹方程.解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0).设动点M的坐标为(x，y)，因为动点M到A，B两点的距离的平方和为10，所以MA2＋MB2＝10，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝10，化简得x2＋y2＝4.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，求动点P的轨迹方程.解析：因为点B与点A(－1，1)关

5、于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).设点P的坐标为(x，y).因为直线AP与BP的斜率之积等于－，所以·＝－(x≠±1)，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1).故所求动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).考向❷相关点法求轨迹方程6例2　已知B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解析：设动点M的坐标为(x，y)，设点B的坐标为(x0，y0)，由M为线段AB的中点，得所以即点B的坐标为(2x－2a，2y).又B是椭圆＋＝1上的动点，所以＋＝1，将点B的坐标为(2x－2a，2y)代

6、入得＋＝1，整理得点M的轨迹方程为＋＝1.如图，设λ>0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，且满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程.解析：由＝λ知，Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，所以y0＝(1＋λ)x2－λy.①设点B(x1，y1)，由＝λ得(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，从而②将①式代入②式，消去y0，得6③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，将③式代

7、入得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，化简整理得2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0，又λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.　自测反馈　1.已知定点A(3，0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆P与圆C相外切，并且过点A，则动圆圆心P的轨迹方程为　－＝1(x≥2)　.解析：设点P的坐标为(x，y).因为圆C与圆P相外切且圆P过点A，所以PC－PA＝4.因为AC＝6>4，所以点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的右支.因为a＝2，c＝

8、3，所以b2＝c2－a2＝5，所以动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2).2.设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为　y2＝4x　.解析：设点M(m，0)，P(0，n)，N(x，y)，由＝2得(x－m，y