江苏高考数学一轮复习《椭圆的几何性质》 教程学案

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1、第47课　椭圆的几何性质1.熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题.2.能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1.阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟：①椭圆中的基本量a，b，c满足关系a2＝b2＋c2，在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？③a－c，a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？3.践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4

2、题(理科完成选修21相应任务).　基础诊断　1.若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　　.解析：因为焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，所以＝，得m＝.2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为　＋＝1　.解析：由题意知e＝，2a＝12，所以a＝6，c＝3，所以b＝3，所以椭圆方程为＋＝1.3.若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是　　.解析：由题意知2b＝2，2a＝4b，所以b＝1，a＝2，所以c＝＝，则椭圆的中心到其准线的距离是＝＝.9

3、4.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为其右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为　　Ｗ.解析：由题意知点P的坐标为或，因为∠F1PF2＝60°，所以＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)，所以e2＋2e－＝0，所以e＝或e＝－(舍).　范例导航　考向❶通过几何性质探求椭圆基本量例1　设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，求实数m的取值范围.　　解析：若椭圆的焦点在x轴上，则有a2＝3，b2＝m(0＜m＜3)，当点M为椭圆短轴的端点时，此时∠AMB最大，根据椭圆的对

4、称性，只需满足tan∠AMO＝≥tan60°＝(其中O为坐标原点)，即≥，得0＜m≤1；若椭圆的焦点在y轴上，则有a2＝m(m＞3)，b2＝3，同理可得m≥9.故m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为，则该椭圆的标准方程为　＋y2＝1　Ｗ.　　解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得DF1＝＝c，所以S△DF1F2＝DF1·F1F2＝c2＝，故c＝1，所以DF1＝.由DF1⊥F1F2，得DF

5、＝DF＋F1F＝，因此DF2＝，所以2a＝DF1＋DF2＝2，故a＝，b2＝a2－c29＝1，因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.考向❷求椭圆离心率例2　如图，＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e.解析：(1)由题意得2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，所以a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PQ⊥PF1，所以2c＝＝＝2，所以c＝，所以b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2

6、)方法一：连结F1Q，设椭圆上点P(x0，y0)，PF1⊥PF2，所以有解方程组，得x0＝±，y0＝±，由PF1＝PQ>PF2，得x0>0，从而PF＝＋＝(a＋)2.由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a，QF1＋QF2＝2a，由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，得QF1＝4a－2PF1.9又PF1⊥PQ，PF1＝PQ，所以QF1＝PF1，所以(2＋)PF1＝4a，所以(2＋)(a＋)＝4a，所以(2＋)(1＋)＝4，解得e＝－.方法二：由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a，QF1＋QF2＝2a，由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，得QF1＝4a－2PF1.又

7、PF1⊥PQ，PF1＝PQ，所以QF1＝PF1，所以PF1＝4a－2PF1，所以PF1＝2(2－)a，从而PF2＝2a－PF1＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知PF＋PF＝F1F＝(2c)2，所以e＝＝＝＝＝－.已知直线l经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点.若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为　　Ｗ.解析：根据题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为＋＝1.若椭圆中心即(0，0)到直线l的距离为其短轴长的，则有＝，得b2＝15c2，则a2＝b2＋c2＝16c2，即

8、a＝4c，所以椭圆的离心率为.考向❸椭圆离心率的取值范围问题例3　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.