高考数学一轮复习人教A版第47课椭圆的几何性质学案(江苏专用).docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第47课椭圆的几何性质1.熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题.2.能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1.阅读:选修11第32~34页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟:①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2=b2+c2,在图形中分别对应着什么?有怎样的几何关系?②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与ba之间满足一个什么关系?求离心率关键要寻找何种等式?③a-c,a+c是椭圆上

2、的点到某一焦点的最小与最大距离吗?你能证明吗?3.践习:在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断22x+y=1的离心率为1,则m=3.1.若焦点在x轴上的椭圆2m22解析:因为焦点在x轴上的椭圆x2+y2=1的离心率为1,所以2-m=1,得m=3.2m22422.已知椭圆G的中心在坐标原点,3,且椭圆G上一点到两长轴在x轴上,离心率为2x2y2个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为36+9=1.解析:由题意知e=3,2a=12,所以a=6,c=33,所以b=3,所以椭圆方程为x2+236y

3、2=1.93.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是43.3解析:由题意知2b=2,2a=4b,所以b=1,a=2,所以c=a2-b2=3,则椭圆的中心到其准线的距离是a2=4=43c33.224.过椭圆x2+y2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若ab∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为3W.322解析:由题意知点P的坐标为-c,-b或-c,b,因为∠F1PF2=60°,所以2c2=3,aaba即2ac=3b2=3(a2-c2),所以3e2+2e-3=0,所以e=3或e

4、=-3(舍).3范例导航1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯考向?通过几何性质探求椭圆基本量22例1设A,B是椭圆C:x3+ym=1长轴的两个端点.若椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,求实数m的取值范围.解析:若椭圆的焦点在x轴上,则有a2=3,b2=m(0<m<3),当点M为椭圆短轴的端点时,此时∠AMB最大,根据椭圆的对称性,只需满足tan∠AMO=a≥tan60°=3(其b中O为坐标原点),即3≥3,得0<m≤1;若椭圆的焦点在y轴上,则有a2=m(m>3),mb2=

5、3,同理可得m≥9.故m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).如图,设椭圆x2y2F1,F2,且点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1F2=22,△DF1F2的面积为2,则该椭圆的标准方程为x2+y2=1W.DF122222F1F2F1F22解析:设F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a-b.由DF1=22,得DF1=22=2c,所以122=21=222S△DF1F2=DF1·F1F2=c,故c=1,所以DF2.由DF1⊥F1F2,得DF2=DF1222+F1F22=9,因此DF2=32,

6、所以2a=DF1+DF2=22,故a=2,b2=a2-c2=1,因此所22求椭圆的标准方程为x2+y2=1.2考向?求椭圆离心率22例2如图,x2y2的左、右焦点分别为,F,过点F的直线交椭圆于P,Qa+b=1(a>b>0)F122两点,且PQ⊥PF1.(1)若PF1=2+2,PF2=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若PF1=PQ,求椭圆的离心率e.解析:(1)由题意得2a=PF1+PF2=(2+2)+(2-2)=4,所以a=2.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设椭圆的半焦距

7、为c,由已知PQ⊥PF1,所以2c=PF21+PF22=(2+2)2+(2-2)2=23,所以c=3,所以b=a2-c2=1,2故所求椭圆的标准方程为x+y2=1.4(2)方法一:连结F1Q,设椭圆上点P(x0,y0),PF1⊥PF2,x02y022+2=1,所以有abx20+y20=c2,a解方程组,得x0=±c2-2b2b2a,y0=±,c由PF1=PQ>PF2,得x0>0,从而22PF21=aa-2b+cc24b222+c2=(a+a-2b).由椭圆定义,得PF1+PF2=2a,QF1+QF2=2a,由PF1=PQ=PF2+QF

8、2,得QF1=4a-2PF1.又PF1⊥PQ,PF1=PQ,所以QF1=2PF1,所以(2+2)PF1=4a,所以(2+2)(a+a2-2b2)=4a,所以(2+2)(1+2e2-1)=4,解

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第47课椭圆的几何性质1.熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题.2.能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1.阅读:选修11第32~34页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟:①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2=b2+c2,在图形中分别对应着什么?有怎样的几何关系?②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与ba之间满足一个什么关系?求离心率关键要寻找何种等式?③a-c,a+c是椭圆上

2、的点到某一焦点的最小与最大距离吗?你能证明吗?3.践习:在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断22x+y=1的离心率为1,则m=3.1.若焦点在x轴上的椭圆2m22解析:因为焦点在x轴上的椭圆x2+y2=1的离心率为1,所以2-m=1,得m=3.2m22422.已知椭圆G的中心在坐标原点,3,且椭圆G上一点到两长轴在x轴上,离心率为2x2y2个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为36+9=1.解析:由题意知e=3,2a=12,所以a=6,c=33,所以b=3,所以椭圆方程为x2+236y

3、2=1.93.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是43.3解析:由题意知2b=2,2a=4b,所以b=1,a=2,所以c=a2-b2=3,则椭圆的中心到其准线的距离是a2=4=43c33.224.过椭圆x2+y2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若ab∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为3W.322解析:由题意知点P的坐标为-c,-b或-c,b,因为∠F1PF2=60°,所以2c2=3,aaba即2ac=3b2=3(a2-c2),所以3e2+2e-3=0,所以e=3或e

4、=-3(舍).3范例导航1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯考向?通过几何性质探求椭圆基本量22例1设A,B是椭圆C:x3+ym=1长轴的两个端点.若椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,求实数m的取值范围.解析:若椭圆的焦点在x轴上,则有a2=3,b2=m(0<m<3),当点M为椭圆短轴的端点时,此时∠AMB最大,根据椭圆的对称性,只需满足tan∠AMO=a≥tan60°=3(其b中O为坐标原点),即3≥3,得0<m≤1;若椭圆的焦点在y轴上,则有a2=m(m>3),mb2=

5、3,同理可得m≥9.故m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).如图,设椭圆x2y2F1,F2,且点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1F2=22,△DF1F2的面积为2,则该椭圆的标准方程为x2+y2=1W.DF122222F1F2F1F22解析:设F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a-b.由DF1=22,得DF1=22=2c,所以122=21=222S△DF1F2=DF1·F1F2=c,故c=1,所以DF2.由DF1⊥F1F2,得DF2=DF1222+F1F22=9,因此DF2=32,

6、所以2a=DF1+DF2=22,故a=2,b2=a2-c2=1,因此所22求椭圆的标准方程为x2+y2=1.2考向?求椭圆离心率22例2如图,x2y2的左、右焦点分别为,F,过点F的直线交椭圆于P,Qa+b=1(a>b>0)F122两点,且PQ⊥PF1.(1)若PF1=2+2,PF2=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若PF1=PQ,求椭圆的离心率e.解析:(1)由题意得2a=PF1+PF2=(2+2)+(2-2)=4,所以a=2.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设椭圆的半焦距

7、为c,由已知PQ⊥PF1,所以2c=PF21+PF22=(2+2)2+(2-2)2=23,所以c=3,所以b=a2-c2=1,2故所求椭圆的标准方程为x+y2=1.4(2)方法一:连结F1Q,设椭圆上点P(x0,y0),PF1⊥PF2,x02y022+2=1,所以有abx20+y20=c2,a解方程组,得x0=±c2-2b2b2a,y0=±,c由PF1=PQ>PF2,得x0>0,从而22PF21=aa-2b+cc24b222+c2=(a+a-2b).由椭圆定义,得PF1+PF2=2a,QF1+QF2=2a,由PF1=PQ=PF2+QF

8、2,得QF1=4a-2PF1.又PF1⊥PQ,PF1=PQ,所以QF1=2PF1,所以(2+2)PF1=4a,所以(2+2)(a+a2-2b2)=4a,所以(2+2)(1+2e2-1)=4,解

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