高中数学人教A 2016空间向量与立体几何真题（理）

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1、学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！专题空间向量与立体几何（理）1、（2016年北京高考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解】⑴∵面面面面∵，面∴面∵面∴又∴面⑵取中点为，连结，∵∴∵∴以为原点，如图建系易知，，，，则，，，设为面的法向量，令，则与面夹角有北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！⑶假设存在点使得面设，由（2）知，，，，有

2、∴∵面，为的法向量∴即∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结，因为，在上底面内，不在上底面内，EFBACGH所以上底面，所以平面；又因为，平面，平面，所以平面；所以平面平面，由平面，所以平面．北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的

3、教学资源网站！(Ⅱ)连结，EFBACO，Oxyz以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系．，，于是有，，，，可得平面中的向量，,于是得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设二面角为，则．二面角的余弦值为．3、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，北京凤凰学

4、易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！∵矩形,∴∵、是中点，∴是的中位线∴且∵是正方形中心∴∴且∴四边形是平行四边形∴∵面∴面（Ⅱ）正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系，，，设面的法向量得：∴∵面，∴面的法向量北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！（Ⅲ）∵∴设∴得：4、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（I）证明：平面ABE

5、F平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值．【解析】⑴∵为正方形∴∵∴∵∴面面∴平面平面北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！⑵由⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴,∴∴四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为.，即设面法向量为北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为5、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ

6、）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如图坐标系．，，，，，，，设面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴．6、（2016年全国III高考）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！（I）证明平面；（II）求直线与平面所

7、成角的正弦值.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！7、（2016年浙江高考）如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.（II）方法一：过点作，连结．因为平面，所以，则平面，所以．所以，是二面角的平面角．北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站！在中，，，得．在中，，，得．所以，二面角的

8、平面角的余弦值为．北京凤凰学易科技有限公司版权所有@学科网