高中数学人教A 2015真题空间向量与立体几何

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1、学习方法报社全新课标理念，优质课程资源2015真题空间向量与立体几何1.（15北京理科）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若平面，求的值．试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，

2、解得或，由于，则.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.2.(15年安徽理科）如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F（1）证明：(2)求二面角余弦值.3.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源解析：解法一：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中

3、点，，又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：(Ⅰ)如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，又面，面，所以平面．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．又面，面，所以面．又因为，面，面，所以面平面，因为面，所以平面．（Ⅱ）同解法一．考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．4.（15年新课标2理科）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，

4、F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。学习方法报社全新课标理念，优质课程资源5.（15年陕西理科）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．试题解析：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BEAC即在图2中，BE，BEOC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.学习方法报社全新课

5、标理念，优质课程资源(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为,所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.6.（15年天津理科）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源(I)求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，

6、求线段的长试题解析：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得学习方法报社全新课标理念，优质课程资源因此有，于是，所以二面角的正弦值为.(III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.7.（15年山东理科）

7、如图，在三棱台中，TFDEAGBHCTFDEAGBHCTFDEAGBHC分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面,TFDEAGBHC求平面与平面所成角（锐角）的大小.解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T.在三棱台中，则而G是AC的中点，DF//AC，则,所以四边形是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC.又在,H是BC的中点，则TH//DB，又平面，平面，故平面；zxyFDEAGBHC（Ⅱ）由平面,可得平面而则,于是两两垂直，以点G为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设,则,学习方法报社全新课标理念，优质课程资源，