高中数学人教A 2017空间向量与立体几何真题（理）

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1、学习方法报全新课标理念，优质课程资源高考汇编——空间向量与立体几何1.(2017北京理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】（1）连接AC，BD..连接OM∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO,∴PD∥MO.∵O为BD中点,∴M为PB中点（2）取AD中点E，连接PE.∵PA=PD,∴PE

2、⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD,∴PE⊥平面ABCD建立如图所示坐标系学习方法报全新课标理念，优质课程资源则B(-2，4，0),P(0，0，),D(2，0，0),A(-2，0，0).易知平面PDA的法向量设平面BPD的法向量，则∴,∴二面角B-PD-A的平面角2.（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.学xxx7科网（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；（Ⅱ）当，，求二面角的大小.学习方法报全新课标理念，优质课程资源【

3、答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）因为，，，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此（Ⅱ）解法一：取的中点，连接，，.因为，所以四边形为菱形，学习方法报全新课标理念，优质课程资源解法二：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，故，，，设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.学习方法报全新课标理念，优质课程资源由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.3.（2017新课标1理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD

4、，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.学习方法报全新课标理念，优质课程资源.4.（2017新课标2理）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.（1）证明：直线平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值学习方法报全新课标理念，优质课程资源【解析】（1）取中点，连接、、∵、分别为、中点∴，又∵∴，∴四边形为平行四边形∴平面（2）取中点，连，由于为正三角形

5、∴又∵平面平面，平面平面∴平面，连，四边形为正方形。∵平面，∴平面平面而平面平面过作，垂足为，∴平面∴为与平面所成角，∴在中，，∴，设，，，学习方法报全新课标理念，优质课程资源∴，∴在中，，∴∴，，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，，∴∴，而平面的法向量为设二面角的大角为（为锐角）∴。5.（2017新课标3理）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；学习方法报全新课标理念，优质课程资

6、源（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．（1）证明：①取中点，连结.由知由已知可得为等腰直角三角形为直角顶点，则设正边长为，则即又平面，又面平面平面.学习方法报全新课标理念，优质课程资源6.（2017浙江）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.学习方法报全新课标理念，优质课

7、程资源【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】方法一：（1）取AD的中点F，连接EF，CF∵E为PD的中点，∴EF∥PA在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点易得CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP∵EC平面EFC，∴EC∥平面PAB（2）连结BF，过F作FM⊥PB与M，连结PF因为PA=PD，所以PF⊥AD易知四边形BCDF为矩形，所以BF⊥AD所以AD⊥平面PBF，又AD∥BC，所以BC⊥平面PBF，所以BC⊥PB设DC=CB=1，则AD=PC=2，所以PB=，BF=PF=1所以MF=，又B

8、C⊥平面PBF，所以BC⊥MF.所以MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为也即点D到平面PBC的距离为因为E为PD的中点，所以点E到平面PBC的距离为在△PCD中，PC=2，CD=1，PD=，由余弦定理可得CE=设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则学习方法报全新课标理念，优质课程资源方法二解：（1）略；构造平行四边形（2）过P作PH⊥C