2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章 立体几何-6 空间向量与立体几何

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1、第6节空间向量与立体几何题型97空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为.1.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，.由于异面直线所成的角的范围为，所以，，令，，则，所以，故的最大值为，此时.2.（2015浙江理13）如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．2.解析解法一:连接，取中点，连接，如图（1）所示，则即是所成的角.，，,所以.评注本题也可用向量法来求.如图（2）所示，把放入一个长方体中

2、，然后建立空间直角坐标系，利用来计算.图（1）图（2）题型98空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）.A.B.C.D.2.（2013辽宁理18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.（1）求证：平面平面；（2）若，求证：二面角的余弦值.3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱（1）证明：；（2）求直线所成角的正弦值.4.(2013重庆理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.5.(2013

3、天津理17）如图，四棱柱中．侧棱底面，，，，，为棱的中点．(1)证明：；(2)求二面角的正弦值；(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.7.(2013陕西理18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.8.(2013福建理19）如图，在四棱柱中，侧棱底面，（1）求证：平面（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值（3）现

4、将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9.(2013安徽理19）如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为.（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求.10．（2013四川理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．（1）在平面内，试作出过点与平面平行

5、的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．11.（2013广东理18）.COBDEACDOBE图1图2如图1，在等腰直角三角形中，，，分别是上的点，，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.(1)证明:平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.12.(2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦

6、值．14.（2014新课标2理11）直三棱柱中，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）.A.B.C.D.15.（2014四川理8）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）.A．B．C．D．16.（2014大纲理11）已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A．B．C．D．16.解析依题意作图，平移至，作，且，连接，，则面，则，，设，，则，，.在中，.所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选B.评注本题的解题关键在于（1）依题作图，平移直线使异面直线相交，（2）给恰当

7、的线段赋值是减少运算量的关键.17.（2014安徽理8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）.A.对B.对C.对D.对17．分析本题考查正方体中异面直线所成的角.解析因为一条对角线成的直线有条，所以对.故选A.18.（2014安徽理20）（本小题满分13分）如图所示，四棱柱中，底面.四边形为梯形，，且.过，，三点的平面记为，与的交点为.（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角大小.19.（2014北京理17）（本小题14分）如图所示，正

8、方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.20.