2019_2020学年高中数学课时分层作业22导数的实际应用（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(二十二)　导数的实际应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)A．10B．15　　　C．25　　　D．50C　[如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，∴当sin2θ＝1时，函数取得最大值25，此时θ＝45°，故Smax＝25.]2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　)A．30B．40C．50D．60B　[V

2、′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)＞0，此时V(x)单调递增；当40＜x＜60时，V′(x)＜0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)A．B．C.D．2C　[设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，∴S表＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋，S′表＝x－.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈(

3、0，)时，S′表＜0，当x∈(，＋∞)时，S′表＞0，∴当x＝时，表面积最小．]4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为(　　)A．32米，16米B．30米，15米C．64米，8米D．36米，18米A　[要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短．设堆料场宽为x米，则长为米，因此新墙总长L(x)＝2x＋(x＞0)，则L′(x)＝2－.令L′(x)＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．故当x＝16时，L(x)取得

4、最小值，此时长为＝32(米)．]5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486B　[依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0

5、86)，则y′＝0.0972kx－3kx2(00；当0.0324

6、)，所以S′(x)＝－2x＋230.令S′(x)＝0，解得x＝115.当30≤x<115时，S′(x)>0；当1150

7、；当1

8、令y′＝0得x＝25.故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]9．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(