2019_2020学年高中数学课时分层作业19空间向量的基本定理（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(十九)　空间向量的基本定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中正确的个数是(　　)①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3B　[①中当b＝0时，

2、a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．]2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　)A．aB．bC．cD．无法确定C　[∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，∵b＝p－q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]3

3、．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　)A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－cB　[＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.所以应选B.]4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)A.B.C.D.A　[连接AG1交BC于E，则E为BC中点，＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)．∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1，∴＝＝(＋)＝(

4、＋－＋)＝＋＋，故选A.]5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]　A二、填空题6．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；②若A，B，C，D不在一直线上，则与不是共线向量；③若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．①④　[①为真命题

5、，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.]7．已知空间的一个基阿底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.1　－1　[

6、因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得]8．如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________.　[＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.]三、解答题9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．[解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，即

7、e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，所以，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底．10．如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下

8、向量：(1)；(2)；(3)；(4).[解]　连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.(4)＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.[能力提升练]1.如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则＋＋的化简结果为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.A　[∵G是△BCD的重心，∴

9、

10、＝

11、

12、，∴＝.又＝，∴＋＝＋＝