2019_2020学年高中数学第6章向量基本定理课时31平面向量基本定理练习（含解析）新人教B版.docx

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1、课时31　平面向量基本定理知识点一平面向量基本定理的理解1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是(　　)①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②答案　B解析　由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基

2、本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．2．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)A．{e1－e2，e2－e1}B．{2e1＋e2，e1＋e2}C．{2e2－3e1,6e1－4e2}D．{e1＋e2，e1－e2}答案　D解析　对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e

3、2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．知识点二用基底表示向量3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　)A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0答案　B解析　取第Ⅲ部分内一

4、点画图易得a＞0，b＜0.4．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.(1)用基底{，}表示A＝________；(2)用基底{，}表示A＝________.答案　(1)＋　(2)＋解析　(1)∵＝＋，＝＝，＝－，∴＝＋(－)＝＋－＝＋.(2)＝＋＝＋.5.在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.解　∵M为BC的中点，∴＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．∵DN∥BM，AN与AM共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝

5、λ(b－a)．＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.∵＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b，∴根据平面向量基本定理，得∴λ＝μ＝，∴＝(b－a)＝－a＋b.知识点三平面向量基本定理的应用6.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则(　　)A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点一定共线答案　B解析　由题意得－＝λ(－)，即＝λ.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若A＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__

6、______.答案　解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.又∵＝a＋b，∴＝(A＋A)，即λ＝μ＝.∴λ＋μ＝.8．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.答案　解析　如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.9．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量；(2)设线

7、段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．解　(1)∵B，E，C三点共线，∴存在实数x，使＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①同理，∵A，E，D三点共线，∴存在实数y，使＝ya＋3(1－y)b.②由①②，得解得x＝，y＝.∴＝a＋b.(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，∴＝－＝＝，＝－＝，∴＝6，∴L，M，N三点共线.易错点忽略两个向量作为基底的条件10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　)A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0易错分析　若认为

8、e1，e2是一组基底，则会得到如下解析：设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.事实上，e1，e2并不一定是平面内的