2019_2020学年高中数学第6章平面向量基本定理新人教A版.docx

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1、课时作业7　平面向量基本定理知识点一基底的概念1.下面三种说法中，正确的是(　　)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案　B解析　只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是

2、________．答案　λ≠解析　考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，可作为一组基底.知识点二用基底表示向量3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.答案　解析　因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝.4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解　因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb.则xa

3、＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b.5．在▱ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解　解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b.∴＝＋＝－＝a－b，＝＋＝b＋a.解法二：(方程思想)设＝x，＝y，则有＋＝，－＝且＝＝y，即∴x＝a－b，y＝a＋b，即＝a－b，＝a＋b.6．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若

4、＝a，＝b，用a，b表示A.解　易知＝，＝，设＝λ，则由平行四边形法则，得＝λ(＋)＝2λ＋2λ.由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝.从而＝，＝＝(a＋b).知识点三平面向量基本定理的应用7.设e1，e2是平面内的一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．证明　∵＝3e1－2e2，＝＋＋＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5，即＝5，∴与共线，又与有公共点A，∴A，B，D三点共线．8．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明　如图，设

5、D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令＝a，＝b为基底，则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，设AD与BE交于点G，且＝λ，＝μ，则有＝λa－b，＝－a＋μb.又有＝＋＝a＋(μ－1)b，∴解得λ＝μ＝.∴＝a－b，＝＋＝－a＋a－b＝－a－b＝×(－a－b)．而＝(－a－b)，∴＝.∴点G∈CF.∴三角形三条中线交于一点．一、选择题1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)A.(a＋b)B.a＋bC.a＋bD.(a＋b)答案　C解析　因为＝2，所以

6、＝.所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是(　　)A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案　C解析　由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则O等于(　　)A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.a＋b答案　D解析　∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝＋·＝a＋b.故选D.4．已知

7、a

8、

9、＝1，

10、b

11、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　如图所示，在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，∵c＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，∵c⊥a，∴△ACD为直角三角形，又

12、

13、＝1，

14、

15、＝2，∴θ＝，所以a与b的夹角为.5．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)A.B.C．1D．2答案　C解析　由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－

16、2×＝1.故选C.二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量，则＝________.答案　b＋a解析　＝＋＝＋＝＋＝b＋a.7．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则A与A的夹角为________．答案　90°解析　∵＝(＋)，∴O为BC的中点．则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.故与的夹角为90°.8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m