2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习（含解析）新人教A版

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1、第20课时　平面向量基本定理对应学生用书P59　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一基底的概念1．下面三种说法中，正确的是(　　)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案　B解析　只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B．2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2

2、e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．答案　λ≠解析　考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，可作为一组基底．知识点二向量夹角的概念3．已知

3、a

4、＝

5、b

6、＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．答案　90°解析　如图，作向量＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．∵＝a＋b，＝－＝a－b，⊥，∴a＋b与a－b的夹角为90°．4．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

7、

8、＝，

9、

10、＝

11、1，则与的夹角θ＝________．答案　120°解析　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，CB＝1，所以tan∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°，即与的夹角为60°，所以与的夹角为120°．知识点三用基底表示向量5．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝________．答案　解析　因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ－＋＝－＋λ，所以则＝．6．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1

12、＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c．解　因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb．则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2．又因为e1，e2不共线，所以，解得，所以c＝a－2b．7．在▱ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，．解　解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b．∴＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b．解法二：(方程思想)设＝x，＝y，则有＋＝，－＝且＝＝y，即∴x＝a－b，y＝a

13、＋b，即＝a－b，＝a＋b．8．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示．解　易知＝，＝，设＝λ，则由平行四边形法则，得＝λ(＋)＝2λ＋2λ．由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝．从而＝，＝＝(a＋b)．对应学生用书P60　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)A．(a＋b)B．a＋bC．a＋bD．(a＋b)答案　C解析　因为＝

14、2，所以＝．所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b．2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是(　　)A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案　C解析　由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　)A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD．a＋b答案　D解析　∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝＋·＝a＋b．故选D

15、．4．已知

16、a

17、＝1，

18、b

19、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为(　　)A．B．C．D．答案　D解析　如图所示，∵c＝a＋b，c⊥a，∴a，b，c的模构成一个直角三角形，且θ＝，所以a与b的夹角为．5．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)A．B．C．1D．2答案　C解析　由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋－＋＋＝＋．∵＝x＋y，∴x＋y＝＋．∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1．故选C．二、填空题6．如图，在平行四边形A

20、BCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量，则＝________．答案　b＋a解析　＝＋＝＋＝＋＝b＋a．7．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．答案　90°解析　∵＝(＋)，∴O为BC的中点．则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．故与的夹角为90°．8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　解析　设＝k，则＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k－＝(1－k)＋，又＝m＋