2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版

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1、2.3.1　平面向量基本定理考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量基本定理bb平面内所有向量的一组基底　　　　aa向量夹角的概念bb知识导图学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来．3．在△ABC中，明确与的夹角与与的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，

2、使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．　平面向量基本定理的理解(1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．(3)基底1，2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b

3、的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.　两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内

4、所有向量．(　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)A．①②　B．①③C．①④D．③④解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC中，向量，的夹角是指(　　)A．∠CABB．∠ABCC．∠BCAD．以上都不是解析：由

5、两向量夹角的定义知，与的夹角应是∠ABC的补角，故选D.答案：D4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．解析：由图可知，＝4e1＋3e2.答案：＝4e1＋3e2类型一　平面向量基本定理的理解例1　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】　①设e1＋e2＝λe1，则无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e

6、1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．【答案】　③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底

7、，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1　下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正

8、确的说法是(　　)A.①②B．②③C．①③D．①②③