2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习新人教A版必修4.docx

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1、2.3.1平面向量基本定理[A　基础达标]1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②　B．②③C．③④D．②解析：选B.由平面向量基本定理

2、，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.2．e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)A．2B．－3C．－2D．3解析：选A.＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2.3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为(　　)A.＝＋B.＝＋C.＝－2＋3D.＝＋解析：选B.由＝3，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.4．设非零向

3、量a，b，c满足

4、a

5、＝

6、b

7、＝

8、c

9、，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)A．150°B．120°C．60°D．30°解析：选B.设向量a，b的夹角为θ，作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，a，b的夹角为180°－∠C.因为

10、a

11、＝

12、b

13、＝

14、c

15、，所以∠C＝60°，所以θ＝120°.5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)A.B.C.D.解析：选C.因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s，所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y

16、满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：37．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．解析：＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b.答案：2a－b8．若a≠0，b≠0，

17、a

18、＝

19、b

20、＝

21、a－b

22、，则a与a＋b的夹角为_______

23、_．解析：如图，作＝a，＝b，则＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，因为

24、a

25、＝

26、b

27、＝

28、a－b

29、，所以∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．又＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b的夹角为30°.答案：30°9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2；解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得所以λ

30、不存在．故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以解得所以c＝2a＋b.10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．(1)试以，为基底表示；(2)当λ＝时，试确定点P的位置．解：(1)因为＝－，＝－，＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝λ＋(1－λ).(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．[B　能力提升]11．已

31、知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________．解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝.答案：12．(2019·江西临川二中检测)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且

32、b

33、＝2

34、a

35、，则向量a与c的夹角为________．解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为向量a，b的夹角为120°，即180°－∠OAB＝120°，所以∠OAB＝60°，

36、b

37、＝2

38、a

39、，所以

40、∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.答案：90°13．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点，求：(1)与夹角的大小；(2)与夹角的大小．解：(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，所以△ABC为直角三角形．因为tanA＝＝＝，所以∠A＝30°.又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠