2019_2020学年高中数学课时分层作业20空间向量与空间角（含解析）新人教A版

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1、课时分层作业(二十)　空间向量与空间角(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　)A．30°　　　　B．150°C．30°或150°D．以上均不对A　[l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.]2．已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ的大小为(　　)A.B.C.或D.或C　[由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角αlβ的大

2、小为或，故选C.]3.如图，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　)A.B.C.D.D　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1，0，1)，M，D(0，0，1)，N，则＝，＝，cos〈，〉＝＝0.∴〈，〉＝.]4．已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直

3、角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]5．如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为(　　)A.B.C.D.D　[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF

4、的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角CBFD的正切值为.]二、填空题6．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．　[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．　[如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为

5、n1＝(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1，0，0)，E，F，所以＝，＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3)．所以cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.]8．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．　[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y

6、，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]三、解答题9.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．(1)求异面直角AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．[解]　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE，∴EA⊥平面AB

7、C.如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)，∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)．∴cos〈，〉＝＝－，∴异面直线AB与CE所成角的大小为.(2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)，∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)．设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，则由，可得，令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)．设直线CD与平面

8、ODM所成的角为θ，则sinθ＝

9、cos〈n，〉

10、＝＝，∴直线CD与平面ODM所