2019_2020学年高中数学课时分层作业15空间向量的数量积运算（含解析）新人教A版

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1、课时分层作业(十五)　空间向量的数量积运算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形　B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形B　[因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋.所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，所以

2、

3、＝

4、

5、，因此△ABC是等腰三角形．]2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三种情况都有可能B

6、　[由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.因此m⊥n.]3．如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　)A.　　　B.C.　　　D.B　[∵＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×＝23，∴

7、

8、＝，即AC′的长为.]4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，C

9、D＝1，则AB与CD所成的角是(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°C　[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋

10、

11、2＋·＝

12、

13、2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]5.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝(　　)A．3B．7C．4D．6B　[

14、

15、2＝·＝(＋＋)2＝

16、

17、2＋

18、

19、2＋

20、

21、2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2

22、

23、

24、

25、cos120°＝49.所以

26、

27、＝7.]二、填空题6．已知

28、a

29、＝2，

30、

31、b

32、＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－，－1＋)　[由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.]7.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90°　[不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，故填90°.]8．如图所示，在一个直二面角αABβ的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8

33、，则CD的长为________．2　[∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴

34、

35、＝2.]三、解答题9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.[证明]　设＝a，＝b，＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.∴·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(

36、b

37、2－

38、a

39、2)＝0.∴⊥.∴A

40、1O⊥BD.同理可证⊥.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.10．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.[解]　如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

41、a

42、＝

43、c

44、＝2，

45、b

46、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝·＝b·＝

47、b

48、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(＋)＝·(a＋c)＝

49、c

50、2－

51、a

52、2＝22－22＝0.(3)·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝(－a＋b＋c)·＝

53、－

54、a

55、2＋

56、b

57、2＝2.[能力提升练]1．已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.]2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)A．30°B．60°C．90°D．45°B　[由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.]3．已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，

58、M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________．　[设＝m，则＝m＝m，∵M为BC的中点，∴＝＋＝＋m，又∵＝＋，·＝0，∴·＝(＋)·＝·＋m·＝·＋m·＝－＋4m＝0，∴解得m