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1、课时分层作业(十八)空间向量的数量积(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.[解析]∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.[答案]2→→→2．在平行六面体1111中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为ABCD-ABCD→→→→60°，且
2、
3、AB
4、＝1，
5、AD
6、＝2，
7、AA1
8、＝3，则
9、AC1
10、等于________．[解析]→→→→设AB＝a，AD＝b，AA＝c，则AC＝a＋b＋c，11→2222→AC＝a＋b＋c＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此
11、AC
12、＝5.11[答案]5．已知→→3A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB________．[解析]→→AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，31∴cos〈AB，AC〉＝32×2＝2，→→→→∴〈AB，AC〉＝60°.[答案]60°4．已知
13、a
14、
15、＝2，
16、b
17、＝3，〈a，b〉＝60°，则
18、2a－3b
19、＝________.【导学号：71392180】[解析]a·b＝2×3×cos60°＝3，∴
20、2a－3b
21、＝4
22、a
23、2－12a·b＋9
24、b
25、2＝第1页4×4－12×3＋81＝61.[答案]615．如图3-1-34,120的°二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．图3-1-34[解析]∵AC⊥AB，BD⊥AB，→→∴AC·AB＝0，→→BD·AB＝0
26、.又∵二面角为120°，→→〉＝°，∴〈CA，BD60→→2＝→→→2＝→2＋→2＋→2＋→→→→∴CD2＝(CA＋AB＋CABD·＋·＋
27、CD
28、BD)AB2(CAABCABD→→AB·BD)＝164，→∴
29、CD
30、＝241.[答案]2416．如图3-1-35，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，1AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝2AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．图3-1-35[解析]分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空
31、间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，11M2，1，2.→→则BF＝(－1,0,1)，ED＝(0,1，－1)，第2页→→0＋0－11→→BF·ED∴cos〈BF，ED〉＝→→＝2·2＝－2，
32、BF
33、·
34、ED
35、→→〉＝°∴〈BF，ED120.所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.[答案]60°7．如图3-1-36所示，已知直线AB⊥平面α，BC?α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF
36、＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．图3-1-36→→→→[解析]∵AD＝AB＋BC＋CD，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，→2＝→→→2∴
37、AD＋＋CD)
38、(ABBC＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，→∴
39、AD＝22.
40、[答案]22→→→→8．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，
41、a
42、＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________.【导学号：71392181】→a·AB＝0，[解析]设a＝(x
43、，y，z)，由题意有→代入坐标可解得：a·AC＝0，
44、a
45、＝1，第3页33x＝13，x＝－13，y＝4，或y＝－4，13131212z＝13z＝－13.[答案]3，4，12或－3，－4，－12131313131313二、解答题9．如图3-1-37，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：图3-1-37(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明]设正方体的棱长为1，取A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．11则A(0,0,0)，B′(1,0,
46、1)，C(1,1,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，O2，1，2，则→11，→－，＝，1，CD′＝AO22(1,0,1)→→→AC′＝(1,1,1)，B′C＝(0,1，－1)，B′D′＝(－1,1,0)．→→11(1)∵AO·CD′＝2×(－1)＋1×0＋2×1＝0，∴AO⊥CD′.→→(2)∵AC′·B′C＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，→→AC′·B′D′＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0.∴AC′⊥B′C，AC′⊥B′D′.又∵B′
