专题15 定积分求值问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）

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1、【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查、属于中低档题、其试题难度考查相对较小、重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理、注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等、【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值、例1的值为（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】考点：微积分基本定理．【点评】一个函数的导数是唯一的、而其原函数则有无穷多个

2、、这些原函数之间都相差一个常数、在利用微积分基本求定积分时、只要找到被积函数的一个原函数即可、并且一般使用不含常数的原函数、这样有利于计算、【变式演练1】下列计算错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A选项、、所以A正确；B选项、、所以B正确；C选项、根据偶函数图象及定积分运算性质可知、C正确；D选项错误。学科网考点：定积分的计算。【变式演练2】若则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【变式演练3】（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得、故选A、考点：定积分的应用、【变式演练4】若、则

3、的值是___________．【答案】【解析】试题分析：由、得、所以．考点：定积分的运算．【变式演练5】_____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得．考点：定积分的计算．[来源:学科网ZXXK]【变式演练6】设若、则．【答案】1【解析】考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图、阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：面积为．学科网考点：定积分．类型二利用定积分的几何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步画出被积函数的图像；第二步作出直线计算函数所围成的图

4、形；第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分、[来源:学+科+网Z+X+X+K]例2计算定积分、【答案】、考点：定积分的计算．【变式演练8】设、则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：,故选A．考点：定积分．【变式演练9】定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：令,则,则,故应选C．考点：定积分及运算．【变式演练10】______、【答案】【解析】考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义、【变式演练11】已知、展开式的常数项为15、则___________【答案】【解析】试题分析：由的展开式

5、的通项公式为、令、求得r=2、故常数项为、可得a=1、因此原式为、学科网考点：二项式定理；微积分基本定理【变式演练12】已知数列为等差数列、且、则的值为（）A．B．C．D．【答案】考点：等差数列性质及定积分．类型三导数与定积分的综合应用例3如图所示、抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地、现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地、其中A、B在抛物线上、C、D在轴上、已知工业用地每单位面积价值为元、其它的三个边角地块每单位面积价值元、（1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C的位置、才能使得整块土地总价值最大、[【答

6、案】（1）；（2）点C的坐标为、考点：1、定积分；2、函数的最值、【变式演练13】给定可导函数、如果存在、使得成立、则称为函数在区间上的“平均值点”、(1)函数在区间上的平均值点为；(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”、则实数的取值范围是、【答案】(1)1；(2)【解析】试题分析：由“平均值点”的定义可得、存在、使得成立、结合图像不难得到、学科网考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2,求的值;[来源:学&科&网]（3）在（2）的条件下,

7、求直线与函数的图象所围成图形的面积、【答案】（1）；（2）；（3）、【解析】试题分析：（1）对的取值分类讨论、化简绝对值求出得到和导函数相等、代入到即可；（2）根据基本不等式得到的最小值即可求出；（3）根据（2）知、首先联立直线与函数解析式求出交点、利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可、（3）由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=学科网考点：导数及函数单调性、定积分的应用、【变式演练15】如下图、过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点、又过作轴的垂线交曲线于点、然后再过作曲线的切线交轴于点、又过作轴的垂线交曲线于点、、以此

8、类推、过点的切线与轴相交于点、再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．(1)求、及数列的通项公式；(2)设曲线与切线及直线所围成的图形面积为、求的表达式；(3)在满足(2)的条件下,若数列的前项和为、求证：N、【答案】(1)、